2023届山西省四校高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合中含有的元素个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．已知集合则（ ） A． B． C． D． 3．函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 4．设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为 A．8 B．16 C．24 D．36 5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（ ） A． B． C． D． 6．复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ） A． B． C． D． 8．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 9．若集合，则（ ） A． B． C． D． 10．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）. A． B． C． D． 11．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知无盖的圆柱形桶的容积是立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么圆桶造价最低为________元. 14．已知，满足约束条件则的最小值为__________. 15．在中，、的坐标分别为，，且满足，为坐标原点，若点的坐标为，则的取值范围为__________. 16．已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知. （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围 18．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用 （1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望； （2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y 10000 11761 13010 13980 14771 15440 16020 2.99 3.49 4.05 4.50 4.99 5.49 5.99 ①用最小二乘法求与的回归直线方程； ②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值 参考数据和公式：， 19．（12分）已知函数，. （1）若不等式对恒成立，求的最小值； （2）证明：. （3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：. 20．（12分）设实数满足. （1）若，求的取值范围； （2）若，，求证：. 21．（12分）如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，为的中点，. （1）求线段的长. （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 22．（10分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°. （1）求△ABC的面积； （2）若D，E是BC边上的三等分点，求. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 2、B 【答案解析】 解对数不等式可得集合A，由交集运算即可求解. 【题目详解】 集合解得 由集合交集运算可得， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题. 3、A 【答案解析】 利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确. 【题目详解】 ，排除掉C，D； ， ，， . 故选：A． 【答案点睛】 本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题. 4、B 【答案解析】 方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B． 方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B． 5、A 【答案解析】 设椭圆的半长轴长为，双曲线的半长轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得： ，解得，然后在中，由余弦定理得：，化简求解. 【题目详解】 设椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为 ， 由椭圆和双曲线的定义得： ， 解得，设， 在中，由余弦定理得： ， 化简得， 即. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6、C 【答案解析】 由复数除法求出，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 【题目详解】 解析：，， 对应点为，在第三象限． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键． 7、A 【答案解析】 对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数. 【题目详解】 因为为纯虚数，所以，得 所以. 故选A项 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 8、D 【答案解析】 可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出，这样即可得出tan∠CSF的值. 【题目详解】 如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF， 则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角， ∵，∴， 又OB＝3，∴， SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴； SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴； OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴， ∴等腰△SCF中，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题. 9、A 【答案解析】 先确定集合中的元素，然后由交集定义求解． 【题目详解】 ，. 故选：A． 【答案点睛】 本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键． 10、C 【答案解析】 易得，，又，平方计算即可得到答案. 【题目详解】 设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形， 所以，又， 故，，， 所以，即， 故离心率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题. 11、B 【答案解析】 先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【题目详解】 双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x， ∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍， ∴kl， ∴直线l的方程为y（x﹣c）， 与y＝±x联立，可得y或y， ∵， ∴2•， ∴ab， ∴c＝2b， ∴e． 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 12、B 【答案解析】 对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【题目详解】 当时，函数在上单调递减， 所以，的递增区间是， 所以，即. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设桶的底面半径为，用表示出桶的总造价，利用基本不等式得出最小值. 【题目详解】 设桶的底面半径为，高为，则， 故， 圆通的造价为 解法一： 当且仅当，即时取等号. 解法二：，则， 令，即，解得，此函数在单调递增； 令，即，解得，此函数在上单调递减； 令，即，解得， 即当时，圆桶的造价最低. 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 14、 【答案解析】 画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值. 【题目详解】 画出可行域如下图所示，由图可知： 可行域是由三点，，构成的三角形及其内部，当直线过点时，取得最小值. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15、 【答案解析】 由正弦定理可得点在曲线上，设，则，将代入可得，利用二次函数的性质可得范围. 【题目详解】 解：由正弦定理得， 则点在曲线上， 设，则， ， 又， ， 因为，则， 即的取值范围为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大. 16、或 【答案解析】 用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解. 【题目详解】 联立解得. 所以的面积，所以. 而由双曲线的焦距为知，，所以. 联立解得或 故双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 【答案点睛】 本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）. （2）. 【答案解析】 试题分析：（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可； （Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可． 试题解析： （1）不等式等价于或 或，解得或， 所以不等式的解集是； （2），， ，解得实数的取值范围是． 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 18、（1）见解析，12.5（2）①②20 【答案解析】 (1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果; (2) ①由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方程；