2023届吉林省松原市重点中学高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（ ） A．或 B．或 C． D． 2．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（ ） A． B． C．1 D．3 3．设为非零实数，且，则（ ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 6．某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（ ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 7．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 9．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 10．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．设是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 12．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______. 14．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述： ①平面； ②四点、、、可能共面； ③若，则平面平面； ④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________. 15．的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 16．在中，角，，的对边长分别为，，，满足，，则的面积为__． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知直线：与抛物线切于点，直线：过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为. （1）求抛物线的方程及点的坐标； （2）设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（12分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程. 19．（12分） (Ⅰ)证明： ； (Ⅱ)证明：()； (Ⅲ)证明：. 20．（12分）已知函数. (Ⅰ) 求函数的单调区间； (Ⅱ) 当时，求函数在上最小值. 21．（12分）已知，设函数 (I)若，求的单调区间： (II)当时，的最小值为0，求的最大值.注：…为自然对数的底数. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）若射线与曲线C交于点A（不同于极点O），与直线l交于点B，求的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【题目详解】 由题意可得，解得或. 因此，函数的定义域为或. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 2、A 【答案解析】 根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值. 【题目详解】 由复数的除法运算化简可得 ， 因为是纯虚数，所以， ∴， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题. 3、C 【答案解析】 取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案. 【题目详解】 ，故，，故正确； 取，计算知错误； 故选：. 【答案点睛】 本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 4、C 【答案解析】 根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项. 【题目详解】 ∵， ， ∴函数为奇函数， ∴排除选项A，B； 又∵当时，， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 5、C 【答案解析】 求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【题目详解】 解：∵,, ∴, 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 6、C 【答案解析】 写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【题目详解】 由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”， 由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C. 【答案点睛】 本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 7、D 【答案解析】 由得，分别算出和的值，从而得到的值. 【题目详解】 ∵， ∴， ∴， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴， 故选：D. 【答案点睛】 本小题主要考查对数运算，属于基础题. 8、D 【答案解析】 弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素. 【题目详解】 因，所以，故，又， ，则， 故集合. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题. 9、C 【答案解析】 框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【题目详解】 第一次循环：；第二次循环：； 第三次循环：；第四次循环：； 此时满足输出结果，故. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 10、A 【答案解析】 根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果. 【题目详解】 由三视图的性质和定义知，三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形，其面积都是，正视图与侧视图的面积之和为， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 11、A 【答案解析】 利用复数的乘法运算可求得结果. 【题目详解】 由复数的乘法法则得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 12、C 【答案解析】 根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【题目详解】 由题可知，程序框图的运行结果为31， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 此时输出. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案. 【题目详解】 如图，在正方体中，记的中点为，连接， 则平面即为平面．证明如下： 由正方体的性质可知，，则，四点共面， 记的中点为，连接，易证．连接，则， 所以平面，则． 同理可证，，，则平面， 所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面． 因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形， 其对角线，，所以其面积． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 14、①③ 【答案解析】 连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【题目详解】 对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示： 则且，四边形是矩形，且，为的中点， 为的中点，且，且， 四边形为平行四边形，，即， 平面，平面，平面，命题①正确； 对于命题②，，平面，平面，平面， 若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得， 则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾. 所以，命题②错误； 对于命题③，连接、，设，则， 在中，，，则为等腰直角三角形， 且，，，且， 由余弦定理得，， ，又，，平面， 平面，， ，、为平面内的两条相交直线，所以，平面， 平面，平面平面，命题③正确； 对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， 平面，， ，，，，， 又，平面，平面，. ，平面，平面，. ，，显然与不垂直，命题④错误. 故答案为：①③. 【答案点睛】 本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题. 15、 【答案解析】 求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项. 【题目详解】 的展开式的通项为， 令，得，所以，展开式中的常数项为； 令，令，即， 解得，，，因此，展开式中系数最大的项为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16、． 【答案解析】 由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入，计算可得所求． 【题目详解】 解：把看成关于的二次方程， 则，即， 即为， 化为，而， 则， 由于，可得， 可得，即， 代入方程可得，， ， 由余弦定理可得，， 解得：（负的舍去）， ． 故答案为． 【答案点睛】 本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算