2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案等比数列高中数学.docx

3．4等比数列 ——学习等比数列要与等差数列比照着学习,这是类比思想的典型范例 一、明确复习目标 1．理解等比数列的概念和性质； 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能用公式 解决简单问题. 二．建构知识网络 1．等比数列定义 从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列. ,且第每项不为零. 2．通项公式,推广:,变式 3．前n项和, q≠1时，=. 注:应用前n项和公式时,一定要区分q=1与q≠1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:假设a、b、c成等比数列,那么b是a、c的等比中项,且 5．等比数列{an}的性质: (1)假设 (2)下标成等差数列的项构成等比数列 (3)连续假设干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:假设 (2)等比中项法:假设 (3)通项法:假设 (4)前n项和法:假设数列为等比数列。 7．解等比数列题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二〞问题) ; (2)转化化归思想; 化归为等比数列,转化为根本量; (3)分类的思想:q=1和q≠1; 由an+1－an=a1qn-1(q－1)讨论增减等. (4)等比数列中,次数较高时,常作同除. 三、双基题目练练手 1.(2023湖北)假设互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，那么a= 〔 〕 A.4 B.2 C.-2 D.-4 2.银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于 ( ) A. B.［〔1+r〕3－1］ C.〔1+r〕3－1 D.r 3.〔2023辽宁〕在等比数列中,,前项和为,假设数列也是等比数列,那么Sn等于 ( ) 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 4.〔2023北京〕设，那么等于( ) 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 5. 在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，那么这个数列的公比为 6. 等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，那么通项公式为 简答:1-4.DBCD; 2.由题意得〔1+r〕3＜1+3q，故q＞［〔1+r〕3－1］; 4.通项an=23n-2,f(n)是前n+4项的和; 5. 6.转化为根本量a1，q， an=2n－1或an=23－n. 四、经典例题做一做 【例1】 (2023陕西) 正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① 代n=1得10a1=a12+5a1+6，a1=2或a1=3 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 【例2】等比数列{an}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项为哪一项54，假设该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求： 〔1〕前100项之和S100. 〔2〕通项公式an. 解：设公比为q，由得 Sn==80， ① S2n==6560， ② 由②÷①解得,qn=81,q>1, 〔∵an＞0〕,可知最大项为an=a1qn－1 ③ qn=81代入①③得a1=2，q=3， 〔1〕前100项之和S100==3100－1. 〔2〕通项公式为an=2·3n－1. 提炼方法:1.转化为根本量;2. 解方程次数较高时除一下可降次.3.判定最大项的方法. 【例3】 〔2023全国Ⅲ〕在等差数列{an}中，公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,a1,a3,成等比数列，求数列k1,k2,k3,…,kn的通项kn 解：由题意得： 即 又 an=na1 又成等比数列, ∴该数列的公比， 其中第n+2项: 又 所以数列的通项为 方法步骤:1.推a1=d, an=na1;q=a3÷a1=3,; 2.比拟在两数列中的式子. 【例4】，点在函数的图象上() 〔1〕证明数列是等比数列； 〔2〕设，求及数列的通项； 解：〔Ⅰ〕由， ，两边取对数得， 即 是公比为2的等比数列. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知 〔x〕 = 由〔x〕式得 【研讨.欣赏】设数列｛an｝，a1＝，假设以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an－1x2－anx＋1＝0〔n∈Ｎx且n≥2〕都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1. 〔1〕求证:｛an－｝为等比数列； 〔2〕求an； 〔3〕求｛an｝的前n项和Sn. 证明〔1〕∵α＋β＝，αβ＝代入3α－αβ＋3β＝1得an＝an－1＋， ∴＝＝为定值. ∴数列｛an－｝是等比数列. 解〔2〕∵a1－＝－＝， ∴an－＝×〔〕n－1＝〔〕n. ∴an＝〔〕n＋. 解〔3〕Sn＝〔＋+…+)+＝+＝－. 五．提炼总结以为师 1.等比数列的概念和性质，证明数列{an}是等比数列的方法： 2.等比数列的通项公式与前n项和公式的求法与应用; 五个元素a1，an，n，q，Sn中知三，可求另两个.次数较高时可除或换元; 3.思想.方法 :转化为根本量,利用性质,方程的思想,类比思想. 同步练习 3．4等比数列 【选择题】 1.在公比q1的等比数列{an}中，假设am=p,那么am+n的值为 〔 〕 〔A〕pqn+1 〔B〕pqn-1 〔C〕pqn 〔D〕pqm+n-1 2.在等比数列{an}中，a9+a10=a(a),a19+a20=b,那么a99+a100的值为 〔 〕 〔A〕 〔B〕〔〕9 〔C〕 〔D〕〔〕10 3.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a3·a6·a9·…·a30等于 ( ) A.210 B.220 C.216 D.215 4. 假设等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，那么 ( ) 〔A〕= 〔B〕＞ 〔C〕 〔D〕＞ 【填空题】 5.〔2023上海〕假设首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，那么首项a1，公比q的一组取值可以是〔a1，q〕=___________. 6.设{an}是首项为1的正项数列，且〔n+1〕an+12－nan2+an+1an=0〔n∈Nx〕，那么它的通项公式an=______________. 简答.提示：1-4.CABC; 3. a1·a2·a3=〔〕3，故a1·a2·a3·…·a30=〔〕3.又q=2，故a3·a6·a9·…·a30=220.选B; 4.特例法,设为常数列a,可知选C; 5.由题意＜且|q|＜1对n∈N都成立，∴a1＞0，0＜q＜1.答案：〔1，〕〔a1＞0，0＜q＜1的一组数〕; 6. 分解因式得［〔n+1〕an+1－nan］·［an+1+an］=0，又an＞0，那么〔n+1〕an+1－nan=0，即=.又a1=1，由累积法可得an=. 【解答题】 7.数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an－an－1〔n≥2〕，假设an+Sn=n. 〔1〕设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列； 〔2〕求数列{bn}的通项公式. 证明〔1〕：∵a1=S1，an+Sn=n，∴a1+S1=1，得a1=. 又an+1+Sn+1=n+1，两式相减得2〔an+1－1〕=an－1，即=，也即=，故数列{cn}是等比数列. 〔2〕解：∵c1=a1－1=－， ∴cn=－，an=cn+1=1－，an－1=1－. 故当n≥2时，bn=an－an－1=－=.又b1=a1=，即bn=〔n∈Nx〕. 8.设数列｛an｝、｛bn｝〔bn＞0，n∈Ｎx〕，满足an＝〔n∈Ｎx〕，证明：｛an｝为等差数列的充要条件是｛bn｝为等比数列. 证明：充分性：假设｛bn｝为等比数列，设公比为q，那么an＝＝＝lgb1＋〔n－1〕lgq，an＋1－an＝lgq为常数， ∴｛an｝为等差数列. 必要性：由an＝得nan＝lgb1＋lgb2＋…＋lgbn，〔n＋1〕an＋1＝lgb1＋lgb2＋…＋lgbn＋1， ∴n〔an＋1－an〕＋an＋1＝lgbn＋1. 假设｛an｝为等差数列，设公差为d， 那么nd＋a1＋nd＝lgbn＋1， ∴bn＋1＝10，bn＝10. ∴＝102d为常数. ∴｛bn｝为等比数列. 9. 　设数列{an}前n的项和为 Sn，且其中m为常数， 〔1〕求证：{an}是等比数列； 〔2〕假设数列{an}的公比满足q=f(m)且 为等差数列，并求 解：〔1〕由，得 两式相减，得 是等比数列 点评：为了求数列的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题 10.数列{an}中，a1=，并且数列log2〔a2－〕，log2〔a3－〕，…，log2〔an+1－〕是公差为－1的等差数列，求数列{an}的通项公式. 分析：由数列{log2〔an+1－〕}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出an+1与an的一个递推关系式解：∵数列{log2〔an+1－〕}是公差为－1的等差数列， ∴log2〔an+1－〕=log2〔a2－a1〕+〔n－1〕〔－1〕=log2〔－×〕－n+1=－〔n+1〕，于是有an+1－=2－〔n+1〕. 两边同乘2n+1得 记 即是等比数列,首项 ∴an=－. 【探索题】 数列的通项公式分别是它们公共项由小到大排列的数列是,①写出的前5项 ②证明是等比数列 思维分析:容易证明是等比数列,由定义式,只需找出中任意相邻两项关系即可. 解(1) 的前5项为:8、32、128、512、2048 〔2〕设, 而am+1=2·2m=2(3p+2)=3(2p+1)+1,∴am+1不在{bn}中; 又am+2=4·2m=4·(3p+2)=3·(4p+2)+2 ∴am+2在{bn}中 特别识记:此题是很特别的方法,与前面两个等差数列中相同的项构成的新数列的求法是不同的.应特别的记一记. 备选题 3.(2023湖南