2023届吉林省长春市榆树市第一高级中学高三适应性调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（ ）． A． B． C． D． 3．设全集U=R，集合，则（ ） A．{x|-1 <x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1} 4．tan570°=（ ） A． B．- C． D． 5．若复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 6．当时，函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7． “”是“函数（为常数）为幂函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．已知为实数集，，，则（ ） A． B． C． D． 9．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．1 10．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 11．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ） A． B． C．2 D． 12．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____． 14．定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________. 15．已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是__________． 16．如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则的最小值为______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程． （3）已知分别在，处取得极值，求证：． 18．（12分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由． 19．（12分）已知. （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围 20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线、的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积 21．（12分）设函数，． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）时，若，，求证：． 22．（10分）已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可. 【题目详解】 设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2， 则 =2，化简得. ∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1， ∴ ，解得， ∴椭圆的离心率为． 故选D． 【答案点睛】 本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 2、A 【答案解析】 直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【题目详解】 由题意可知直线的方程为,不妨设. 则，且 将代入双曲线方程中，得到 设 则 由，可得，故 则，解得 则 所以双曲线离心率 故选：A 【答案点睛】 此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目. 3、C 【答案解析】 解一元二次不等式求得集合，由此求得 【题目详解】 由，解得或. 因为或，所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 4、A 【答案解析】 直接利用诱导公式化简求解即可． 【题目详解】 tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题. 5、B 【答案解析】 根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出. 【题目详解】 , , 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 6、B 【答案解析】 由，解得，即或，函数有两个零点，，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 7、A 【答案解析】 根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 【题目详解】 ∵当函数为幂函数时，， 解得或， ∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题. 8、C 【答案解析】 求出集合，，，由此能求出． 【题目详解】 为实数集，，， 或， ． 故选：． 【答案点睛】 本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9、B 【答案解析】 将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【题目详解】 根据实际问题可以转化为等比数列问题， 在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值． 因为，解得，，解得．故选B． 【答案点睛】 本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 10、B 【答案解析】 三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积. 【题目详解】 根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体， 把该几何体补成如下图所示的圆柱， 其体积为，故原几何体的体积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题. 11、C 【答案解析】 由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间 上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C. 点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值. 12、C 【答案解析】 由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围. 【题目详解】 设函数，， 因为， 所以， 或， 因为 时，， 或时，，，其图象如下： 当时，至多一个整数根； 当时，在内的解集中仅有三个整数，只需， ， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 计算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，根据函数的单调性得到最值. 【题目详解】 ∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，）， 又f（x）＝etx（t＞0）的导数f′（x）＝tetx，∴过Q的切线斜率k＝t， 设R（r，0），则k，∴r＝t， 即R（t，0），PR＝t﹣（t）， 又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面积为S， 导数S′，由S′＝0得t＝1， 当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点， ∴△PRS的面积的最小值为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14、 【答案解析】 根据题意，分类讨论求解，当时，根据指数函数的图象和性质无零点，不合题意；当时，令，得，令 ，得或 ，再分当，两种情况讨论求解. 【题目详解】 由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点， 至多有两个零点，不合题意； 当时，令，得，令 ，得或 ， 如图所示： 当时，即时，要有3个零点，则，解得； 当时，即时，要有3个零点，则， 令， ， 所以在是减函数，又， 要使，则须，所以. 综上：实数的取值范围是. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题. 15、 【答案解析】 ∵， ∴ ， ∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点， ∴方程f(x)−g(x)=0有四个解， 即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解， 即函数y=f(x)+f(2−x)与y