2023年高考数学试题精编24函数的综合应用高中数学.docx

第二章 函数 四 函数的综合应用 【考点阐述】 函数的综合应用 【考试要求】 应用函数知识思想解决一些简单的实际问题。 【考题分类】 〔一〕选择题〔共8题〕 1.〔福建卷理4文7〕函数的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】当时，令解得； 当时，令解得，所以函数有两个零点，选C。 【命题意图】此题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。 2.〔湖南卷理8〕用表示a，b两数中的最小值。假设函数的图像关于直线x=对称，那么t的值为 A．-2 B．2 C．-1 D．1 【命题意图】此题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合的能力，属中档题。 3.〔全国Ⅰ新卷理11文12〕函数假设互不相等，且那么的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 解析：不妨设，取特例，如取，那么易得，从而，选C． 另解：不妨设，那么由，再根据图像易得，应选C． 4.〔山东卷理11文11〕函数y=2x－x2的图像大致是 【答案】A 【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。 【命题意图】此题考查函数的图象，考查同学们对函数根底知识的把握程度以及数形结合的思维能力。 5.〔陕西卷理10文10〕某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 【 】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】〔方法一〕当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时,当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时，故综上知，必有,应选. 6.〔天津卷理2〕函数f(x)=的零点所在的一个区间是 (A)〔-2，-1〕 (B)〔-1,0〕 (C)〔0,1〕 (D)〔1,2〕 【答案】B 【解析】因为，，所以选B。 【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属根底题。 7.〔天津卷文4〕函数f〔x〕= (A)〔-2,-1〕 (B) 〔-1,0〕 (C) 〔0,1〕 (D) 〔1,2〕 【答案】C 【解析】因为，，所以选C。 【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属根底题。 8.〔浙江卷文9〕x是函数f(x)=2 x+ 的一个零点，假设∈〔1，〕，∈〔，+〕，那么 〔A〕f()＜0，f()＜0 〔B〕f()＜0，f()＞0 〔C〕f()＞0，f()＜0 〔D〕f()＞0，f()＞0 解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题 〔二〕填空题〔共7题〕 1.〔北京卷理14〕如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p〔x，y〕的轨迹方程是，那么的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。 说明：“正方形PABC沿轴滚动〞包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。 【答案】4， 解析：不难想象，从某一个顶点〔比方A〕落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下： 2. 〔北京卷文14〕如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p〔x，y〕的纵坐标与横坐标的函数关系是，那么的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。说明：“正方形PABC沿x轴滚动〞包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。 3.〔江苏卷14〕将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,那么S的最小值是_______▲_______ 【答案】 [解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设剪成的小正三角形的边长为，那么： 〔方法一〕利用函数的方法求最小值。 令，那么： 故当时，S的最小值是。 〔方法二〕利用导数求函数最小值。 ， ， 当时，递减；当时，递增； 故当时，S的最小值是。 4.〔全国Ⅰ卷理15〕直线与曲线有四个交点，那么的取值范围是 【答案】(1, 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. y=1 x y a O 【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线 ,观图可知，a的取值必须满足 解得. 5.〔天津卷理16〕设函数，对任意，恒成立，那么实数的取值范围是 . [【答案】 【解析】由题意知：在上恒成立， 在上恒成立，当时，函数取得最小值，所以，即解得或。 【命题意图】此题考查函数中的恒成立问题，考查化归与转化的数学思想。 6.〔天津卷文16〕设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，那么实数m的取值范围是________ 【答案】 【解析】因为对任意x，恒成立，所以 当时，有对任意x恒成立，即，解得，即；当时，有对任意x恒成立，x无解，综上所述实数m的取值范围是。 【命题意图】此题考查函数中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想。 7.〔重庆卷理15〕函数满足：，，那么=_____________. 【答案】 解析：取x=1 y=0得 法一：通过计算，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= . 〔三〕解答题〔共3题〕 1.〔广东卷文20〕函数对任意实数均有，其中常数为负数， 且在区间上有表达式. 〔1〕求，的值； 〔2〕写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性； 〔3〕求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. w_wxw.k_s_5 u.cxoxm 〔2〕当时， 当时， 当时， f(x)= c. 当时， 此时： 2.〔湖南卷理20〕函数对任意的，恒有。 〔Ⅰ〕证明：当时，； 〔Ⅱ〕假设对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。 3.〔上海春卷20〕函数，且 〔1〕假设函数的反函数是其本身，求a的值； 〔2〕当时，求函数的最大值。