2023届吉林省梅河口市第五中学高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( ) A． B． C． D． 2．在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（ ） A． B． C．1 D．3 3．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A． B． C． D． 4．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A． B． C． D． 5．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（ ） A． B．3 C． D．2 6．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A． B． C． D． 7．点为的三条中线的交点，且，，则的值为( ) A． B． C． D． 8．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．二项式展开式中，项的系数为（ ） A． B． C． D． 10．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．4 12．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A．16 B．17 C．18 D．19 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差________，通项公式________. 14．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是____ 15．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若，则的值为________________. 16．过且斜率为的直线交抛物线于两点，为的焦点若的面积等于的面积的2倍，则的值为___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四边形中，，，. （1）求的长； （2）若的面积为6，求的值. 18．（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 19．（12分）已知正实数满足 . （1）求 的最小值. （2）证明： 20．（12分）已知在中，角的对边分别为,且. （1）求的值； （2）若,求的取值范围. 21．（12分）已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值． 22．（10分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【题目详解】 由题意，执行给定的程序框图，输入，可得： 第1次循环：； 第2次循环：； 第3次循环：； 第10次循环：， 此时满足判定条件，输出结果， 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2、D 【答案解析】 在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时, 取最大即可求得结果. 【题目详解】 因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易. 3、D 【答案解析】 根据等差数列公式直接计算得到答案. 【题目详解】 依题意，，故，故，故，故选：D． 【答案点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力. 4、D 【答案解析】 设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以， 该金字塔的侧棱长为， 所以需要灯带的总长度约为，故选D． 5、A 【答案解析】 设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率. 【题目详解】 设，直线的方程为. 联立整理得， 则. 因为，所以为线段的中点，所以，，整理得， 故该双曲线的离心率. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6、D 【答案解析】 设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案. 【题目详解】 设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 7、B 【答案解析】 可画出图形，根据条件可得，从而可解出，然后根据，进行数量积的运算即可求出． 【题目详解】 如图： 点为的三条中线的交点 ， 由可得：， 又因，， . 故选：B 【答案点睛】 本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题. 8、D 【答案解析】 利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果. 【题目详解】 由抛物线焦点在轴上，准线方程， 则点到焦点的距离为，则， 所以抛物线方程：， 设，圆，圆心为，半径为1， 则， 当时，取得最小值，最小值为， 故选D. 【答案点睛】 该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目. 9、D 【答案解析】 写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可. 【题目详解】 二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题. 10、D 【答案解析】 利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可. 【题目详解】 在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为， 矩形中位于曲线上方区域的面积为， 矩形的面积为， 由几何概型的概率公式得，所以，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 11、A 【答案解析】 由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率. 【题目详解】 解：设双曲线的半个焦距为，由题意 又，则，，，所以离心率， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 12、B 【答案解析】 由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，， 累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值． 【题目详解】 解：， 即，， 时，， ， 两式相除可得， 则，， 由， ， ， ，， 可得 ， 且， 正整数时，要使得成立， 则， 则， 故选：． 【答案点睛】 本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、2 【答案解析】 直接利用等差数列公式计算得到答案. 【题目详解】 ，，解得，，故. 故答案为：2；. 【答案点睛】 本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力. 14、 【答案解析】 根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围. 【题目详解】 由二次函数的性质和复合函数的单调性可得 解得. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题. 15、 【答案解析】 根据三角函数定义表示出，由同角三角函数关系式结合求得，而，展开后即可由余弦差角公式求得的值. 【题目详解】 点在单位圆上，设， 由三角函数定义可知， 因为，则， 所以由同角三角函数关系式可得， 所以 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题. 16、2 【答案解析】 联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可. 【题目详解】 如图，设，由，则， 由可得，由，则， 所以，得. 故答案为：2 【答案点睛】 此题考查了抛物线的性质，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1) (2) 【答案解析】 （1）利用余弦定理可得的长；（2）利用面积得出，结合正弦定理可得. 【题目详解】 解：（1）由题可知. 在中，， 所以. （2），则. 又， 所以. 【答案点睛】 本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理. 18、（1）见解析（2）见解析 【答案解析】