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2023
春季
九年级
数学
学期
期中
达标
测试
新版
北师大
学科组研讨汇编
期中达标测试卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1.化简等于( )
A.1- B.-1 C.-1 D.+1
2.(衡水中学2023中考模拟〕如图,A,B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同侧的河岸边选定一点C,测出AC=a m,∠A=90°,∠C=40°,那么AB等于( )
A.asin 40° m B.acos 40° m C.atan 40° m D. m
(第2题) (第5题) (第6题) (第7题) (第8题)
3.α为锐角,sin(α-20°)=,那么α的度数为( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
4.二次函数y=ax2+bx+c图象上局部点的坐标满足下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-3
-2
-3
-6
-11
…
那么该函数图象的顶点坐标为( )
A.(-3,-3) B.(-2,-2) C.(-1,-3) D.(0,-6)
2.(实验中学2023中考模拟〕假设二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,那么以下关系不正确的选项是( )
A.a<0 B.abc>0 C.a+b+c>0 D.b2-4ac>0
6.一人乘雪橇沿如下图的斜坡笔直下滑,下滑的距离s(m)与时间t(s)之间的表达式为s=10t+t2,假设滑到坡底的时间为2 s,那么此人下滑的高度为( )
A.24 m B.6 m C.12 m D.12 m
7.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如下图,那么一次函数y=mx+n的图象经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
8.如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积是49,那么sinα-cosα的值为( )
A. B.- C. D.-
9.如图,一枚运载火箭从地面L处发射,当火箭到达点A时,从位于地面R处的雷达站观测得知A,R间的距离是6 km,仰角∠ARL=30°,又经过1 s后火箭到达点B,此时测得仰角∠BRL=45°,那么这枚火箭从A到B的平均速度为( )
A.(3-3)km/s B.3 km/s
C.(3+3) km/s D.3 km/s
2.(北师大附中2023中考模拟〕二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0).设t=a+b+1,那么t值的变化范围是( )
A.0<t<1 B.0<t<2 C.1<t<2 D.-1<t<1
二、填空题(每题3分,共24分)
11.y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是__________.
12.(衡水中学2023中考模拟〕如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=2,AB=2.设∠BCD=α,那么cos α的值是________.
(第12题) (第14题) (第18题)
13.抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°,所得抛物线的表达式是______________.
14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一局部,其对称轴为直线x=1,假设其与x轴的一个交点为A(3,0),那么由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是______________.
12.(实验中学2023中考模拟〕二次函数y=3x2+c的图象与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,那么c的值为________.
16.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形,那么这两个正方形面积之和的最小值是____________ .
17.如果三角形有一边上的中线长等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形〞.假设Rt△ABC是“好玩三角形〞,且∠A=90°,那么tan∠ABC=________.
18.二次函数y=x2-2x-3的图象如下图,假设线段AB在x轴上,AB=2,以AB为边作等边三角形ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,那么点C的坐标为__________________.
三、解答题(19题6分,20题8分,21,22题每题9分,23,24题每题11分,25题12分,共66分)
19.计算:6tan230°-cos 30°·tan 60°-2sin 45°+cos 60°.
20.如图,∠C=90°,点D在BC上,BD=6,AD=BC,cos∠ADC=,求CD的长.
21.如图,有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时,宽20 m,水位上升3 m就到达警戒线CD,这时水面宽度为10 m.
(1)在如下图的坐标系中求抛物线的函数表达式;
(2)假设洪水到来时,水位以每时0.2 m的速度上升,从警戒线开始,再持续多长时间才能到达拱桥顶?
22.(衡水中学2023中考模拟〕某校九年级数学兴趣小组为了测量该校地下停车场的限高CD,在课外活动时间测得以下数据:如图,从地面点E测得地下停车场入口斜坡AE的俯角为30°,斜坡AE的长为16 m,地面上一点B(与点E在同一水平线上)距停车场顶部点C(点A,C,B在同一条直线上且与水平线垂直)1.2 m.试求该校地下停车场的高度AC及限高CD.(结果精确到0.1 m)
2.(华中师大附中2023中考模拟〕如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴,抛物线y=-x2+bx+c经过B,C两点,点D为抛物线的顶点,连接AC,BD,CD.求:
(1)此抛物线的函数表达式;
(2)此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.
24.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.所有观光车每天的管理费是1 100元.
(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,那么每辆车的日租金至少为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?
22.(实验中学2023中考模拟〕:函数y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a为常数).
(1)假设该函数图象与坐标轴只有两个交点,求a的值;
(2)假设该函数图象是开口向上的抛物线,与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且x2-x1=2.
①求抛物线的表达式;
②作点A关于y轴的对称点D,连接BC,DC,求sin ∠DCB的值.
答案
一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D
7.C 8.D 9.A
2.(北师大附中2023中考模拟〕B 点拨:∵二次函数图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0),∴a<0,->0,∴b>0.
∵抛物线过点(-1,0),
∴a-b+1=0,即a=b-1.
∴b-1<0,即b<1.又t=b-1+b+1=2b,∴0<t<2.
二、11.a≠-1 12.
13.y=-2x2+12x-20 14.-1<x<3
15. 点拨:将y=4x代入y=3x2+c,
得4x=3x2+c,即3x2-4x+c=0.
∵两函数图象只有一个交点,
∴方程3x2-4x+c=0有两个相等的实数根.
∴(-4)2-4×3c=0,解得c=.
16. cm2 点拨:设其中一段铁丝长为x cm,那么另一段长为(20-x) cm,设两个正方形的面积之和为y cm2,那么y=2+=(x-10)2+,∴当x=10时,y有最小值.
17.或
18.(1+,3)或(2,-3)
点拨:∵△ABC是等边三角形,
AB=2,∴AB边上的高为3.
∴点C的纵坐标为±3.
令y=3,那么x2-2x-3=3,
解得x=1±;
令y=-3,那么x2-2x-3=-3,
解得x=0或x=2.
∵点C在该函数y轴右侧的图象上,
∴x=1+或x=2.
∴点C的坐标为(1+,3)或(2,-3).
三、19.解:原式=6×-×-2×+=2--+=1-.
20.解:在Rt△ACD中,∵cos∠ADC==,
∴设CD=3k(k>0),那么AD=5k.
∵BC=AD,
∴BC=5k.
又BD=BC-CD,
∴6=5k-3k,
解得k=3.∴CD=3×3=9.
21.解:(1)设所求抛物线的函数表达式为y=ax2.
设D(5,b),那么B(10,b-3),
∴解得
∴y=-x2.
(2)∵b=-1,=5(h),
∴再持续5 h才能到达拱桥顶.
22.(衡水中学2023中考模拟〕解:易得AB⊥EB,CD⊥AE,
∴∠CDA=∠EBA=90°.
∵∠E=30°,
∴AB=AE=8 m,∠EAB=60°.
∵BC=1.2 m,
∴AC=AB-BC=6.8 m.
∵∠DCA=90°-∠DAC=30°,
∴CD=AC·cos∠DCA=6.8×≈5.9(m)
∴该校地下停车场的高度AC为6.8 m,限高CD约为5.9 m.
2.(华中师大附中2023中考模拟〕解:(1)由得C(0,4),B(4,4).
把B与C的坐标分别代入y=-x2+bx+c,得
解得
∴此抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+4.
(2)∵y=-x2+2x+4=-(x-2)2+6,
∴抛物线顶点D的坐标为(2,6).
∴S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×(6-4)=8+4=12.
24.解:(1)由题意知假设观光车能全部租出,那么0<x≤100.
由50x-1 100>0,解得x>22.
又∵x是5的倍数,
∴每辆车的日租金至少为25元.
(2)设每天的净收入为y元.
当0<x≤100时,y=50x-1 100.
∴y随x的增大而增大.
∴当x=100时,y有最大值,最大值为3 900.
当x>100时,y=x-1 100=-x2+70x-1 100=-(x-175)2+5 025.
∴当x=175时,y有最大值,最大值为5 025.
∵5 025>3 900,
∴当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多.
22.(实验中学2023中考模拟〕解:(1)函数y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a为常数),假设a=0,那么y=-x+1,图象与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0);
当a≠0且图象过原点时,2a+1=0,a=-,有两个交点(0,0),(1,0);
当a≠0且图象与x轴只有一个交点时,令y=0,有Δ=[-(3a+1)]2-4a(2a+1)=0,解得a=-1,
有两个交点(0,-1),(1,0).
综上可得,a=0或a=-或a=-1时,函数图象与坐标轴有两个交点.
(2)①∵抛物线与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,
∴x1,x2为ax2-(3a+1)x+2a+1=0的两个根.
∴x1+x2=,x1x2=.
∵x2-x1=2,
∴4=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·.
解得a=-(开口向上,a>0,舍去)或a=1.
∴y=x2-4x+3.
②∵抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴相交于点C,且x1<x2,
∴A(1