2023届天津市十二区县重点学校高三适应性调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：） A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，若F到直线的距离为，则E的离心率为( ) A． B． C． D． 4．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 8．下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 9．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ） A． B． C． D． 10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 12．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数在上仅有2个零点，设，则在区间上的取值范围为_______． 14．已知公差大于零的等差数列中，、、依次成等比数列，则的值是__________． 15．如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______． 16．（5分）已知为实数，向量，，且，则____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值； （3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． 18．（12分）设，，，. （1）若的最小值为4，求的值； （2）若，证明：或. 19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1． （1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值． 20．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）若，，求的值； （2）若，求的值. 21．（12分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a的取值范围； （2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数） 22．（10分）已知函数. （1）若在上是减函数，求实数的最大值； （2）若，求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案. 【题目详解】 由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体， 易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为cm， 若想要盖上盖子，则需要满足，解得， 所以最多可以装层球，即最多可以装个球． 故选： 【答案点睛】 本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 2、D 【答案解析】 根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果. 【题目详解】 设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D． 【答案点睛】 本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题. 3、A 【答案解析】 由已知可得到直线的倾斜角为，有，再利用即可解决. 【题目详解】 由F到直线的距离为，得直线的倾斜角为，所以， 即，解得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于的方程或不等式，本题是一道容易题. 4、B 【答案解析】 利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值. 【题目详解】 ， 即，即， ，，得，，. 由余弦定理得， 由正弦定理，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 5、B 【答案解析】 根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【题目详解】 A选项，若，，，，则或与相交；故A错； B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确； C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错； D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错； 故选B 【答案点睛】 本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型. 6、A 【答案解析】 分析：设三角形的直角边分别为1，，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论. 解析：设三角形的直角边分别为1，，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为. 图钉落在黄色图形内的概率为. 落在黄色图形内的图钉数大约为. 故选：A. 点睛：应用几何概型求概率的方法 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型． 7、C 【答案解析】 利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【题目详解】 函数， 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象； 再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为. 若，则且，均为函数的最大值， 由，解得； 其中、是三角函数最高点的横坐标， 的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C． 【答案点睛】 本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8、D 【答案解析】 根据，利用排除法，即可求解． 【题目详解】 由， 可排除A、B、C选项， 又由， 所以． 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9、C 【答案解析】 分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【题目详解】 由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是； 仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是，于是所求的概率． 故选：C 【答案点睛】 本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 10、C 【答案解析】 利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可. 【题目详解】 设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题. 11、B 【答案解析】 由题意可得c=，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′． 在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=， 由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36， 于是 b2=a2﹣c2=36﹣=16， 所以椭圆的方程为． 故选B． 点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 12、B 【答案解析】 化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标． 【题目详解】 是纯虚数，则，， ，对应点为，在第二象限． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先根