2023届云南省彝良县民族中学高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ） A． B． C． D． 2．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ） A． B．0 C．1 D．3 3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是( ) A． B． C． D． 4．已知实数集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 5．直三棱柱中，，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82 95 90 93 90 85 80 77 99 68 如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 8．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 9．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知等差数列中，则（　） A．10 B．16 C．20 D．24 12．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数在的零点个数为________． 14．设全集，，，则______. 15．已知等比数列的各项均为正数，，则的值为________. 16．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知. （Ⅰ）证明:平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 18．（12分）设， （1）求的单调区间； （2）设恒成立，求实数的取值范围. 19．（12分）已知函数. （1）若，解关于的不等式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 20．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线为参数）与圆的位置关系． 21．（12分）已知数列和满足：. （1）求证:数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 22．（10分）已知函数． （1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值； （2）为的导函数，当，时，求证：． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥，并且平面SAC平面ABC，，过S作，连接BD ，，再求得其它的棱长比较下结论. 【题目详解】 如图所示： 由三视图得：该几何体是一个三棱锥，且平面SAC 平面ABC，， 过S作，连接BD，则 ， 所以 ， ，，， 该几何体中的最长棱长为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 2、C 【答案解析】 先根据奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。 【题目详解】 因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，，用替换，得 ， 化简得，即 令，所以，故选C。 【答案点睛】 本题主要考查函数性质奇偶性的应用。 3、B 【答案解析】 利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程. 【题目详解】 设抛物线的焦点为F,设点， 由抛物线的定义可知， 线段AB中点的横坐标为3，又，，可得， 所以抛物线方程为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 4、A 【答案解析】 可得集合,求出补集,再求出即可. 【题目详解】 由,得,即, 所以, 所以. 故选:A 【答案点睛】 本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题. 5、A 【答案解析】 设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可. 【题目详解】 设，延长至，使得， 连，在直三棱柱中，， ，四边形为平行四边形， ，（或补角）为直线与所成的角， 在中，， 在中，， 在中， ， 在中，， 在中，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 6、D 【答案解析】 根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值. 【题目详解】 由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 7、C 【答案解析】 由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围. 【题目详解】 设函数，， 因为， 所以， 或， 因为 时，， 或时，，，其图象如下： 当时，至多一个整数根； 当时，在内的解集中仅有三个整数，只需， ， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力. 8、C 【答案解析】 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为的等边三角形，三棱锥的高为，所以该几何体的体积，故选C． 9、C 【答案解析】 令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，结合已知，即可求得答案. 【题目详解】 令， 可得， 要使得有两个实数解，即和有两个交点， ， 令， 可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 当时，， 若直线和有两个交点，则. 实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 10、B 【答案解析】 考虑当时，有两个不同的实数解，令，则有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围. 【题目详解】 因为的图象上关于原点对称的点有2对， 所以时，有两个不同的实数解. 令，则在有两个不同的零点. 又， 当时，，故在上为增函数， 在上至多一个零点，舍. 当时， 若，则，在上为增函数； 若，则，在上为减函数； 故， 因为有两个不同的零点，所以，解得. 又当时，且，故在上存在一个零点. 又，其中. 令，则， 当时，，故为减函数， 所以即. 因为，所以在上也存在一个零点. 综上，当时，有两个不同的零点. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题. 11、C 【答案解析】 根据等差数列性质得到，再计算得到答案. 【题目详解】 已知等差数列中， 故答案选C 【答案点睛】 本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 12、D 【答案解析】 试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D． 考点：数列的通项公式． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【题目详解】 详解： 由题可知，或 解得,或 故有3个零点． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题． 14、 【答案解析】 先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可． 【题目详解】 解：，或； ∴； ∴． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题． 15、 【答案解析】 运用等比数列的通项公式，即可解得． 【题目详解】 解：，， ，，， ，，，， ，， ． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题． 16、-2 【答案解析】 试题分析：， 考点：等比数列性质及求和公式 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【答案解析】 (Ⅰ) 先证明 ，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证； (Ⅱ)根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解. 【题目详解】 (Ⅰ)证：由已知得 又 平面，平面，， 而故，平面 平面，平面平面 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，， 有，又，故 所以相似，故有，即 所以，以为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，，，设平面的法向量为，则 令，则，是平面的一个法向量 设平面的一个法向量为 令，则 是平面的一个法向量 = 又二面角为钝二面角，其余弦值为. 【答案点睛】 本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题. 18、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2） 【答案解析】 （1），令，解不等式即可； （2），令得，即，且的最小值为，令，结合即可解决. 【题目详解】 （1）， 当时，，递增， 当时，，递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， ， ，设的根为，即有可得， ，当时，，递减， 当时，，递增. ， 所以， ①当； ②当时，设， 递增，，所以. 综上，. 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理. 19、（1）（2） 【答案解析】 （1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集. （2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围. 【题目详解】 （1）当时，， 由此可知，的解集为 （2）当时， 的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立. 当时，，且，不恒成立，不符合题意. 当时，， 若，则，故不恒成立，不符合题意； 若，则