2023届上海市崇明区崇明中学高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若P是的充分不必要条件，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．定义运算，则函数的图象是（ ）． A． B． C． D． 4．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：） A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（ ） A． B． C． D． 7．如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 8．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是(　　) A．线性相关关系较强，b的值为1.25 B．线性相关关系较强，b的值为0.83 C．线性相关关系较强，b的值为－0.87 D．线性相关关系太弱，无研究价值 9．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ） A． B．6 C． D． 10．已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 12．已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________. 14．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________． 15．已知实数满足则点构成的区域的面积为____，的最大值为_________ 16．已知，满足约束条件，则的最大值为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，且． （1）求的方程； （2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值． 18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线和曲线的极坐标方程； （2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长． 19．（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（），运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）. （1）请分别写出、、的表达式； （2）试确定使用哪种运输工具总费用最省. 20．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2， （1）求的值与抛物线的方程； （2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围. 21．（12分）已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：对任意恒成立. 22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：. （1）当时，求与的交点的极坐标； （2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可． 由p是的充分不必要条件知“若p则”为真，“若则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则”为真，“若则q”为假，故选B． 考点：逻辑命题 2、A 【答案解析】 首先根据等比数列分别求出满足，的基本量，根据基本量的范围即可确定答案. 【题目详解】 为等比数列， 若成立，有， 因为恒成立， 故可以推出且， 若成立， 当时，有， 当时，有，因为恒成立，所以有， 故可以推出，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题. 3、A 【答案解析】 由已知新运算的意义就是取得中的最小值， 因此函数， 只有选项中的图象符合要求，故选A. 4、C 【答案解析】 计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案. 【题目详解】 由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体， 易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为cm， 若想要盖上盖子，则需要满足，解得， 所以最多可以装层球，即最多可以装个球． 故选： 【答案点睛】 本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 5、B 【答案解析】 由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得． 【题目详解】 解：由等差数列的性质可得，解得， ， 故选：B． 【答案点睛】 本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题． 6、A 【答案解析】 画出函数的图像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解. 【题目详解】 函数的图像如图， 对称轴方程为， ， 又， 由图可得与关于对称， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 7、B 【答案解析】 根据二次函数图象的对称轴得出范围，轴截距，求出的范围，判断在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【题目详解】 ∵，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为，， ，∵， 所以在上单调递增. 又因为， 所以函数的零点所在的区间是. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题. 8、B 【答案解析】 根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1. 【题目详解】 散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集， 故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系， 且直线斜率小于1，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养. 9、D 【答案解析】 根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解. 【题目详解】 如图,该几何体为正方体去掉三棱锥, 所以该几何体的体积为：, 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题. 10、B 【答案解析】 直接利用集合的基本运算求解即可． 【题目详解】 解：全集，集合，， 则， 故选：． 【答案点睛】 本题考查集合的基本运算，属于基础题． 11、A 【答案解析】 点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【题目详解】 不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值， 因为，， 所以， 当且仅当，即当时，等号成立， 此时最大，此时的外接圆面积取最小值， 点的坐标为，代入可得，． 所以双曲线的方程为． 故选： 【答案点睛】 本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12、C 【答案解析】 利用复数相等的条件求得，，则答案可求． 【题目详解】 由，得，． 对应的点的坐标为，，． 故选：． 【答案点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据渐近线得到，，计算得到离心率. 【题目详解】 ，一条渐近线方程为：，故，，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14、 【答案解析】 记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填． 15、8 11 【答案解析】 画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值. 【题目详解】 不等式组表示的平面区域如下图所示： 数形结合可知，可行域为三角形，且底边长，高为， 故区域面积； 令，变为， 显然直线过时，z最大，故. 故答案为：；11. 【答案点睛】 本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题. 16、 【答案解析】 根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解. 【题目详解】 可行域如图所示， 易知当，时，的最大值为． 故答案为：9. 【答案点睛】 本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）不妨设，，计算得到，根据面积得到，计算得到答案. （2）设，，，联立方程利用韦达定理得到，，代入化简计算得到答案. 【题目详解】 （1）由题意不妨设，， 则，． ∵，∴，∴． 又，∴， ∴，，故的方程为． （2）设，，，则．∵， ∴，设直线的方程为， 联立整理得． ∵在上，∴，∴上式可化为． ∴，，， ∴， ， ∴ ． ∴． 【答案点睛】 本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18、（1）,；（2） . 【答案解析】 （1）先把直线和曲线的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程； （2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得，再由面积可解得极角，从而可得． 【题目详解】 （1）直线