2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案直线和圆锥曲线的位置关系高中数学.docx

8．4直线和圆锥曲线的位置关系 一、明确复习目标 1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题; 2．会运用“设而不求〞解决相交弦长问题及中点弦问题; 3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题 掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法; 4．会用弦长公式|AB|=|x2－x1|求弦的长； 5．会利用“设点代点、设而不求〞的方法求弦所在直线的方程〔如中点弦、相交弦等〕、弦的中点的轨迹等． 二．建构知识网络 1．直线与圆锥曲线的位置关系主要是：公共点、相交弦或焦点弦问题以及它们的综合运用． 2．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题： 可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，运用韦达定理,中点公式,设而不求时必须Δ≥0,必须注意解的存在性和转化的等价性，用好化归与等价转化思想． 当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，消元后得到的是一元一次方程,只有一个解,即直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点． 3． 涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径的问题，首先考虑第二定义和焦半径公式。 4．涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题： 相交弦的长，弦所在直线的方程、弦的中点的轨迹等，这可以利用“点差法〞，“设而不求〞、 韦达定理、整体代入等方法求解。 5．弦长公式： 圆锥曲线与直线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么弦长 ； 与直线 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么弦长 三、双基题目练练手 1．(2023全国I)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线l 的斜率的取值范围是 〔 〕 A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 2．(2023全国Ⅰ)抛物线上的点到直线距离的最小值是 ( ) A B C D 3．(2023福建)双曲线的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是( ) 〔A〕　　　　 〔B〕　　　　 〔C〕　　　　〔D〕 4．(2023山东)抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，那么的最小值是 。 5．(2023上海) 假设曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，那么、分别应满足的条件是 6．双曲线－=1〔a＞0，b＞0〕上任意一点到它的两条渐近线的距离之积等于________． ． 简答：1-3。CAC; 4． 32; 5． 作出函数的图象，如以下图： 所以，； 6．设P〔x0，y0〕那么d1·d2=·== 四、经典例题做一做 【例1】求过点〔0，2〕的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程． 解：设直线方程为y=kx+2， 把它代入x2＋2y2＝2， 整理得〔2k2＋1〕x2+8kx+6=0． 要使直线和椭圆有两个不同交点，那么Δ＞0，即k＜－或k＞． 设直线与椭圆两个交点为A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，中点坐标为C〔x，y〕，那么 x＝＝， y= +2＝． 〔k＜－或k＞〕， 从参数方程 x=， y= 消去k得x2＋2〔y－1〕2＝2， 且｜x｜＜，0＜y＜． 【例2】(2023江西文) 如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB． 〔1〕假设M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； 〔2〕假设M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程． M A B F E O y x 解：〔1〕设M〔y,y0〕，直线ME的斜率为k(l>0) 那么直线MF的斜率为－k， 消 所以直线EF的斜率为定值 〔2〕 同理可得 设重心G〔x, y〕，那么有 【例3】〔2023浙江〕如图，椭圆＝1〔a＞b＞0〕与过点A〔2，0〕B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=． (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：∠ATM=∠AFT． A B F F M T O y x 解：〔I〕过点、的直线方程为 因为由题意得 有惟一解， 即有惟一解， 所以 〔〕， 故 又因为 即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为 〔II〕由〔I〕得 故 从而 由 解得所以 因为 又得 因此 【例4】椭圆C：＋＝1〔a＞b＞0〕，两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B． 〔1〕假设｜k｜≤，求椭圆C的离心率的取值范围； 〔2〕假设k=，A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程． 解：〔1〕设右焦点F2〔c，0〕，那么l：y=k〔x－c〕． 令x=0，那么y=－ck，∴P〔0，－ck〕． ∵B为F2P的中点，∴B〔，－〕． ∵B在椭圆上，∴＋＝1． ∴k2＝·＝〔－1〕〔4－e2〕 ＝＋e2－5． ∵｜k｜≤，∴＋e2－5≤． ∴〔5e2－4〕〔e2－5〕≤0． ∴≤e2＜1．∴≤e＜1． 〔2〕k＝，∴e＝．∴＝． ∴a2＝c2，b2＝c2．椭圆方程为＋＝1，即x2＋5y2＝c2． 直线l方程为y=〔x－c〕， B〔，－c〕，右准线为x=c． 设A〔x0，y0〕，那么 〔c－x0〕＋〔c－〕＝， ∴x0＝2c－，y0＝〔c－〕． ∵A在椭圆上， ∴〔2c－〕2＋5［〔c－〕］2＝c2． 解之得c=2或c＝〔不合题意，舍去〕． ∴椭圆方程为x2＋5y2＝5，即＋y2＝1． 【研讨．欣赏】(2023山东)双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。 〔1〕求双曲线C的方程； 〔2〕过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点〔Q点与C的顶点不重合〕，当，且时，求点的坐标。 解：〔Ⅰ〕设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为， 对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ， 双曲线的方程为 P B Q A O x y 〔Ⅱ〕解法一： 由题意知直线的斜率存在且不等于零。 设的方程：， 那么 在双曲线上， 同理有： 假设那么直线过顶点，不合题意． 是二次方程的两根． ， 此时． 所求的坐标为． 解法二： 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程，，那么． ， 分的比为． 由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三： 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程：，那么． ， ． ， ，， 又， 即 将代入得 ，否那么与渐近线平行。 。 解法四： 由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：， 那么 , 。 同理 ． 即 。 〔x〕 又 消去y得． 当时，那么直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。 由韦达定理有： 代入〔x〕式得 所求Q点的坐标为。 五．提炼总结以为师 1．解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，一般是消元得到一元二次方程，再讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便． 2．涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法〞，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否那么不宜用此法． 3．求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式 d=＝． 再结合韦达定理,设而不求整体解决．焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化． 4．涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径问题，可以利用焦半径公式或圆锥曲线的第二定义，应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法． 同步练习 8．4直线和圆锥曲线的位置关系 【选择题】 1．假设双曲线x2－y2＝1的右支上一点P〔a，b〕到直线y=x的距离为，那么a+b的值为 〔 〕 A．－ B． C．± D．±2 2．对k∈R，直线y－kx－1=0与椭圆+=1恒有公共点，那么实数m的取值范围是 A．〔0，1〕 B．〔0，5〕 C．［1，5〕∪〔5，+∞〕 D．［1，5〕 3．〔2023辽宁〕直线与曲线 的公共点的个数为〔 〕 〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕4 4．直线y=x+3与曲线 〔 〕 A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【填空题】 5．〔4，2〕是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，那么l的方程是____________． 6．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，|AB|=8，O为坐标原点，那么△OAB的重心的横坐标为________． 简答提示：1-4．BCDD; 1．P〔a，b〕点在双曲线上，那么有a2－b2=1，即〔a+b〕〔a－b〕=1． d==， ∴|a－b|=2． 又P点在右支上，那么有a>b， ∴a－b=2． ∴|a+b|×2=1，a+b=． 2．直线y－kx－1=0恒过点〔0，1〕，仅当点〔0，1〕在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点．所以，≤1且m＞0，得m≥1．故此题应选C． 4．当x>0时，双曲线的渐近线为：，而直线y=x+3的斜率为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆的顶点，k=1>0因此直线与椭圆左半局部有一交点，共计3个交点，选D 5．设直线l与椭圆交于P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕， 将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率 k==－= －=－． 由点斜式可得l的方程为x+2y－8=0． 答案：x+2y－8=0 6．设过焦点F〔1，0〕的直线为y=k〔x－1〕〔k≠0〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕 代入抛物线方程消去y得k2x2－2〔k2+2〕x+k2=0． ∵k2≠0，∴x1+x2=， |AB|=x1+x2+2=8, x1+x2=6． 可得k2=1． ∴△OAB的重心的横坐标为x==2． ．法2： 由|AB|==8， 得k2=1…．． 【解答题】 7． 正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积． 解：设CD所在直线的方程为y=x+t， 消去y得 ∵ y=x+t， y2=x， x2+〔2t－1〕x+t2=0， ∴｜CD｜＝ ＝． 又直线AB与CD间距离为｜AD｜＝， ∵｜AD｜＝｜CD｜， ∴t=－2或－6． 从而边长为3或5． 面积S1＝〔3〕2＝18，S2=〔5〕2=50． 8．(2023上海) 在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点 〔1〕求证：“如果直线过点T〔3，0〕，那么＝3”是真命题； 〔2〕写出〔1〕中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 [解]〔1〕设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2) 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于