2023年学广东省广州市天河区高考数学一模（10月）（文）试题（解析版）.docx

2023-2023学年广东省广州市天河区高考数学一模（10月）（文）试题（解析版） 2023-2023学年广东省广州市天河区高考数学一模（10月）（文）试题 一、单项选择题 1．设集合，，那么=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：集合，应选B. 【考点】集合的交集运算. 2．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大创造〞，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( ) A．x1，x2，…xn的平均数 B．x1，x2，…xn的标准差 C．x1，x2，…xn的最大值 D．x1，x2，…xn的中位数 【答案】B 【解析】根据平均数、标准差、中位数、最值的实际意义逐一判断即可. 【详解】 因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 所以，表示一组数据的稳定程度的是方差或标准差．应选B． 【点睛】 此题主要考查平均数、标准差、中位数的实际意义，意在考查对根底知识掌握的熟练程度，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于根底题. 3．假设复数为纯虚数，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意首先求得实数a的值，然后求解即可。 【详解】 由复数的运算法那么有： , 复数为纯虚数，那么， 即. 此题选择A选项. 【点睛】 复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的根本思想是复数问题实数化. 4．设等差数列的前n项和为，假设那么,=（ ） A．18 B．36 C．45 D．60 【答案】C 【解析】试题分析：，应选C. 【考点】等差数列的通项公式的性质、前项和公式. 5．，，那么的值等于　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由有，，再由正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】 解:， ， ， ， ． 应选：． 【点睛】 此题考查了诱导公式及正弦的二倍角公式,属根底题. 6．假设实数，满足，那么的最小值为　　 A.2 B. C.1 D. 【答案】B 【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最小值即可. 【详解】 解：不等式组可用区域(含边界)表示，如图： 由图可知，在与轴的交点处取得最小值，即． 应选：． 【点睛】 此题考查了简单的线性规划问题，属根底题. 7．三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得.设勾股形中勾股比为，假设向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），那么落在黄色图形内的图钉数大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：设三角形的直角边分别为1，，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论. 解析：设三角形的直角边分别为1，，那么弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为. 图钉落在黄色图形内的概率为. 落在黄色图形内的图钉数大约为. 应选：A. 点睛：应用几何概型求概率的方法 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可； (2)假设一个随机事件需要用两个变量来描述，那么可用这两个变量的有序实数对来表示它的根本领件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； (3)假设一个随机事件需要用三个连续变量来描述，那么可用这三个变量组成的有序数组来表示根本领件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型． 8．，满足，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据对数的化简公式得到,由指数的运算公式得到=，由对数的性质得到>0,，进而得到结果. 【详解】 ,=,>0, 进而得到. 故答案为：A. 【点睛】 此题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系. 9．如下列图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，那么在侧面上的轨迹的长度是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设，分别为、边上的中点，由面面平行的性质可得落在线段上，再求的长度即可. 【详解】 解：设，，分别为、、边上的中点， 那么四点共面， 且平面平面， 又面， 落在线段上， 正方体中的棱长为， ， 即在侧面上的轨迹的长度是． 应选：． 【点睛】 此题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题. 10．函数，，，为图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点，假设，那么的单调递增区间是　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】C 【解析】由三角函数图像的性质可求得：，，即，再令，求出函数的单调增区间即可. 【详解】 解：函数，， 因为，为图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点， 又，，即，求得． 再根据，，可得，， 令，求得， 故的单调递增区间为，，， 应选：． 【点睛】 此题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题. 11．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，假设年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，那么取回的钱的总数为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意， 当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为， 同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为， 孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为， 孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为， 可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 那么取回的钱的总数： ； 应选：． 【点睛】 此题考查了不完全归纳法及等比数列前项和，属中档题. 12．函数f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，那么x1＋x2的取值范围为 A．（，＋∞） B．（，＋∞） C．[，＋∞） D．[，＋∞） 【答案】B 【解析】利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合根本不等式，再求最值，即可求x1+x2 的取值范围． 【详解】 由题得f′（x）=﹣﹣1=﹣=﹣，（x＞0，k＞0） 由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）， 即﹣1=﹣﹣1， 化简得4（x1+x2）=（k+）x1x2， 而x1x2＜， 4（x1+x2）＜（k+）， 即x1+x2＞对k∈[4，+∞）恒成立， 令g（k）=k+， 那么g′（k）=1﹣=＞0对k∈[4，+∞）恒成立， ∴g（k）≥g（4）=5， ∴≤， ∴x1+x2＞， 故x1+x2的取值范围为（，+∞）. 故答案为：B 【点睛】 此题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题 的关键，属于中档题. 二、填空题 13．向量．假设向量，那么_____． 【答案】 【解析】由向量的差的坐标运算可得：， 由两向量平行的坐标运算得：，运算即可得解. 【详解】 解：向量，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了两向量平行的坐标运算，属根底题. 14．数列满足，，那么当时，__． 【答案】 【解析】用去换中的 得到，再做差即可得到数列为等比数列，即可得出答案。 【详解】 数列满足， ，，① 用去换得到，② ②-①得到 又，，所以数列为以1为首项，2为公比的等比数列 即． 故答案为：． 【点睛】 此题考查根据递推公式求通项，属于根底题。 15．如下列图，位于A处的信息中心得悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，那么______________． 【答案】 【解析】在中，由余弦定理，求得，再由正弦定理，求得，最后利用两角和的余弦公式，即可求解的值． 【详解】 在中，海里，海里，， 由余弦定理可得， 所以海里, 由正弦定理可得， 因为，可知为锐角，所以 所以． 【点睛】 此题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果． 16．直三棱柱外接球的外表积为，，假设外接圆的圆心在上，半径，那么直三棱柱的体积为_____． 【答案】6 【解析】将直三棱柱补形为长方体，那么直三棱柱与长方体的外接球为同一个球，设，那么其外接球的半径，由题意可得，，再利用三棱柱的体积公式运算可得解. 【详解】 解：如图，外接圆的圆心在上， 为的中点，且是以为直角的直角三角形， 由半径，得，又，． 把直三棱柱补形为长方体，设， 那么其外接球的半径． 又直三棱柱外接球的外表积为， ，即． ，解得． 直三棱柱的体积为． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了三棱柱的外接球及三棱柱的体积公式，属中档题. 三、解答题 17．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2022名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（总分值150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一局部． （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图； （2）用样本数据估计该校的2022名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）； （3）假设从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率． 【答案】（1）,绘图见解析；（2）；（3） 【解析】（1）由频率分布直方图可得：各小矩形的高之和为0.1，运算可得解； （2）由频率分布直方图中平均数的求法即可得解； （3）样本成绩属于第六组的有人，样本成绩属于第八组的有人，那么随机抽取2名， 根本领件总数为，他们的分差的绝对值小于10分包含的根本领件个数为，再利用古典概型概率公式运算即可. 【详解】 解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为： ． 完成频率分布直方图如下： （2）用样本数据估计该校的2022名学生这次考试成绩的平均分为： . （3）样本成绩属于第六组的有人，样本成绩属于第八组的有人， 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名， 根本领件总数， 他们的分差的绝对值小于10分包含的根本领件个数， 故他们的分差的绝对值小于10分的概率． 【点睛】 此题考查了频率分布直方图及古典概型概率公式，属中档题. 18．在等比数列中，公比，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）由题意有，，再由等比数列通项公式可得解； （2）由题意可得， 为等差数列，由等差数列前项和公式运算即可得解. 【详解】 解：（1）， 可得