2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案圆的方程高中数学.docx

7.5圆的方程 一、明确复习目标 1.掌握圆的标准方程和一般方程. 2.了解参数方程的概念.理解圆的参数方程. 3.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; 4.灵活运用圆的几何性质解决问题. 二．建构知识网络 1.圆的定义: 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 2.圆的方程 (1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。 (2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)， 其中圆心为，半径为 (3) 参数方程:，. 消去θ可得普通方程 〔4〕A(x1，y1)B(x2，y2)为直径的圆: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0; 〔5〕.过圆与直线〔或圆〕交点的圆系方程： i) x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，表示—— ii) x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)； 〔时为一条过过两圆交点的直线，该方程不包括圆C2〕 〔6〕二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件: A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。 3. 点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b) 2=r2的位置关系:代入方程看符号. 4.直线与圆的位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法： 〔1〕代数法〔判别式法〕:Δ>、=、<0时分别相离、相交、相切。 〔2〕几何法，圆心到直线的距离d>、=、<r时相离、相交、相切。 5．切线方程：过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上点M〔x0,y0〕的切线方程： 〔x0-a〕(x-a)+(y0-b)(y-b)=0. 假设点M〔x0,y0〕不在圆上，可用上面4条中的两种方法求之。 6．切线长公式： 表示—— 7．弦长求法： 〔1〕几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，那么d2+(l/2)2=r2. 〔2〕解析法：用韦达定理，弦长公式。 8．圆与圆的位置关系：看|O1O2|与r1+r2和|r1－r2|的大小关系。 9.特别提示:解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷. 三、双基题目练练手 1．(2023陕西) 设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,那么a 的值为( ) A. ± B. ±2 B.±2 D.±4 2．(2023北京)直线所截得的线段的长为〔 〕 A．1 B． C． D．2 3．(2023北京)从原点向圆作两条切线，那么该圆夹在两条切线间的劣弧长为 〔 〕 A．π B．2π C．4π D．6π 4．M(为圆内异于圆心的一点，那么直线与该圆的位置关系为( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 5.〔2023全国Ⅱ〕过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率=___________. 6. 自点A〔－3，3〕发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，那么光线l所在直线的方程是_______________. 简答提示：1－4.BCBC； 5. 6.圆〔x－2〕2＋〔y－2〕2＝1关于x轴的对称方程是〔x－2〕2＋〔y＋2〕2＝1. 设l方程为y－3＝k〔x＋3〕，由于对称圆心〔2，－2〕到l距离为圆的半径1，从而可得k1＝－，k2＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 四、经典例题做一做 【例1】(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程; (2)一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程 解：(1)设圆心P(x0,y0),那么有, 解得 x0=4, y0=5, ∴半径r=, ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10 (2)因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为 又因为直线y=x截圆得弦长为2， 那么有+=9b2， 解得b=±1故所求圆方程为 或 ◆提炼方法:〔1〕确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；〔2〕待定系数法;〔3〕尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F. 【例2】⊙O的半径为3，直线与⊙O相切，一动圆与相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。 解：取过O点且与平行的直线为x轴，过O点且垂直于 的直线为y轴，建立直角坐标系。 设动圆圆心为M〔x,y〕，⊙O与⊙M的公共弦为 AB，⊙M与切于点C，那么 AB为⊙O的直径，MO垂直 平分AB于O。 由勾股定理得 即： 这就是动圆圆心的轨迹方程 【例3】圆M：2x2+2y2－8x－8y－1＝0和直线l：x+y－9＝0, 过直线 上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，AB过圆心M，且B，C在圆M上。 ⑴当A的横坐标为4时，求直线AC的方程； ⑵求点A的横坐标的取值范围。 解：⑴依题意M〔2，2〕，A〔4，5〕，，设直线AC的斜率为，那么,解得 或，故所求直线AC的方程为5x+y－25＝0或x－5y+21＝0； ⑵圆的方程可化为(x－2)2+(y－2)2＝，设A点的横坐标为a。那么纵坐标为9－a； ①当a≠2时，，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，那么可得，直线AC的方程为y－(9－a)＝(x－a)即5x－(2a－9)y－2a2+22a－81＝0，又点C在圆M上， 所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径， 即， 化简得a2－9a+18≤0，解得3≤a≤6； ②当a＝2时，那么A〔2，7〕与直线 x=2成45°角的直线为y－7＝x－2即x－y+5＝0，M到它的距离，这样点C不在圆M上，还有x+y－9＝0，显然也不满足条件，故A点的横坐标范围为［3，6］。 【例4】设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程. 解法一:设圆心为P(a,b),半径为r,那么点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│. 由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为，故r2=2b2 又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. 又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 所以5d2=│a-2b│2=a2+4b2-4ab ≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1, 当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值. 由此有 解此方程组得 由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是: (x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 解法二:同解法一得 将a2=2b2-1代入上式,整理得 ② 把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 △=8(5d2-1)≥0, 得 5d2≥1. 所以5d2有最小值1，从而d有最小值 将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1. 将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1. 综上 a=±1,b=±1,r2=2. 由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是 (x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 【研讨.欣赏】平面上一定点C〔4，0〕和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且〔 〔1〕问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程； 〔2〕设直线与〔1〕中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使 得以线段AB为直径的圆经过点D〔0，－2〕？假设存在，求出k的值，假设不存在，说明理由 解：〔1〕设P的坐标为，由得 ∴〔化简得 ∴P点在双曲线上，其方程为 〔2〕设A、B点的坐标分别为、， 由 得 ， ∵AB与双曲线交于两点，∴△>0， 即解得 ∵假设以AB为直径的圆过D〔0，－2〕，那么AD⊥BD， ∴，即 ∴ ∴ ∴, 即存在符合要求. 五．提炼总结以为师 1.求圆的方程：主要用待定系数法，可以用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；或是利用圆的一般方程求出系数D、E、F的值。 2.圆经过两圆的交点，求圆的方程，用经过两圆交点的圆系方程简捷。 3.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。 4.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题. 同步练习 7.5圆的方程 【选择题】 1．(2023辽宁)假设直线按向量平移后与圆相切，那么c的值为 〔 〕 A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8 2．(2023全国卷Ⅰ)过点〔－2，0〕的直线l与圆有两个交点，那么斜率k的取值范围是 〔 〕 A． B． C． D． 3.圆,直线,以下命题正确的选项是〔 ) A.对任意实数和,直线和圆相切; B.对任意实数和,直线和圆交于两点; C. 对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切; D. 对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切. 【填空题】 4．(2023湖南)直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，那么　＝　　　 . 5．(2023年春考·北京卷·理11)假设圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，那么的值为__________． 6．求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x─4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程 简答提示：1－3.ABD； 4.； 5.； 6.解由 得交点A(─11/5,2/5), B(─3,2),利用圆的直径式方程得: (x+11/5)(x+3) +(y─2/5)(y─2)=0, 化简整理得 (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5 【解答题】 7.圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交点,(1)求圆C的方程; (2)求两圆C1和C2相交弦的方程 解：(1)因为所求的圆过两圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0, 即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0, 即 =0, 圆心为 (,), 由于圆心在直线x─y─4=0上, ∴──4=0, 解得 λ=─1/3 所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0 (2)将圆C1和圆C2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程 点评：学会利用圆系的方程解题 8. 圆C：〔x－1〕2＋〔y－2〕2＝25，直线l：〔2m+1〕x+〔m+1〕y－7m－4=0〔m∈R〕. 〔1〕证明：不管m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； 〔2〕求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. 〔1〕证明：l的方程〔x+y－4〕+m〔2x+y－7〕=0. 得 ∵m∈R，∴ 2x+y－7=0， x=3， x+y－4=0， y=1， 即l恒过定点A〔3，1〕. ∵圆心C〔1，2〕，｜AC｜＝＜5〔半径〕， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点. 〔2〕解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－， ∴l的方程为2x－y－5=0. 9