2023学年陕西省西安市碑林区西安交通大学附属中学高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 2．设为非零实数，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则的真子集个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，，且分别是棱，的中点，下面四个结论： ①； ②平面； ③三棱锥的体积的最大值为； ④与一定不垂直. 其中所有正确命题的序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 6．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 7．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知向量，，且与的夹角为，则x=（ ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 12．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____． 14．已知函数，对于任意都有，则的值为______________. 15．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________. 16．在中，为定长，，若的面积的最大值为，则边的长为____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数（，），且对任意，都有. （Ⅰ）用含的表达式表示； （Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围，并证明； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断零点的个数，并说明理由. 18．（12分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，. （1）求数列，的通项公式； （2）求； （3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由. 19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由. 设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？ 20．（12分）设函数． （1）当时，解不等式； （2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围． 21．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程是（为参数，常数），曲线的极坐标方程是. （1）写出的普通方程及的直角坐标方程，并指出是什么曲线； （2）若直线与曲线，均相切且相切于同一点，求直线的极坐标方程. 22．（10分）已知函数. （1）若函数，求的极值； （2）证明：. （参考数据： ） 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率． 【题目详解】 由题意可知，代入得：， 代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题． 2、C 【答案解析】 取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案. 【题目详解】 ，故，，故正确； 取，计算知错误； 故选：. 【答案点睛】 本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 3、C 【答案解析】 求出的元素，再确定其真子集个数． 【题目详解】 由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集． 4、B 【答案解析】 先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式可求. 【题目详解】 解：角的终边与单位圆交于点 ， ， 故选：B 【答案点睛】 考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题. 5、D 【答案解析】 ①通过证明平面，证得；②通过证明，证得平面；③求得三棱锥体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得与一定不垂直. 【题目详解】 设的中点为，连接，则，，又，所以平面，所以，故①正确；因为，所以平面，故②正确；当平面与平面垂直时，最大，最大值为，故③错误；若与垂直，又因为，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因为，所以显然与不可能垂直，故④正确. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 6、C 【答案解析】 根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【题目详解】 由题意可知，双曲线的渐近线方程是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用． 7、D 【答案解析】 取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时， 最小，由 ，故，即可求解. 【题目详解】 取中点，过作面，如图： 则，故， 而对固定的点，当时， 最小． 此时由面，可知为等腰直角三角形，， 故. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 8、C 【答案解析】 方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得. 方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得. 【题目详解】 方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点， 则，所以，又 所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为， 所以，所以． 方法二：抛物线的准线方程为，直线 由题意设两点横坐标分别为， 则由抛物线定义得 又 ① ② 由①②得. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 9、D 【答案解析】 先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【题目详解】 因为，故， 当时，，故在区间上单调递减； 当时，，故在区间上单调递增； 当时，令，解得， 故在区间单调递减，在区间上单调递增. 又，且当趋近于零时，趋近于正无穷； 对函数，当时，； 根据题意，对，且，使得成立， 只需， 即可得， 解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题. 10、B 【答案解析】 对分类讨论，代入解析式求出，解不等式，即可求解. 【题目详解】 函数，由 得或 解得. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题. 11、B 【答案解析】 由题意，代入解方程即可得解. 【题目详解】 由题意， 所以，且，解得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 12、A 【答案解析】 由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【题目详解】 水费开支占总开支的百分比为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【题目详解】 解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形, 上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形, 此四棱锥中,是边长为的正方形, 是边长为的等边三角形, 故,又, 故平面平面, 的高是四棱锥的高, 此四棱锥的体积为: ． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意 14、 【答案解析】 由条件得到函数的对称性，从而得到结果 【题目详解】 ∵f＝f， ∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴． ∴f＝±2. 【答案点睛】 本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题. 15、8. 【答案解析】 利用转化得到加以计算，得到. 【题目详解】 向量 则. 【答案点睛】 本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题. 16、 【答案解析】 设，以为原点，为轴建系，则，，设，， ，利用求向量模的公式，可得，根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求. 【题目详解】 解：设，以为原点，为轴建系，则，，设，， 则， 即， 由，可得. 则. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）见解析（3）见解析 【答案解析】 试题分析：利用赋值法求出关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需在内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数. 试题解析：（Ⅰ）根据题意：令，可得， 所以， 经验证，可得当时，对任意，都有， 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且， 所以 ， 令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，所以 或 解得或无解，所以的取值范围，可得， 由题意知 ， 令 ，则 ． 而当时， ，即， 所以在上单调递减， 所以 即时，． （Ⅲ）因为 ，． 令得，． 由（Ⅱ）知时，的对称轴，，，所以. 又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以 最多只有三个不同的零点． 又因为，所以在上递增，即时，