2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案用空间向量求角和距离高中数学.docx

9．8用空间向量求角和距离 一、明确复习目标 1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量； 2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离. 二．建构知识网络 1．求角： 〔1〕直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角； 〔2〕直线和平面所成的角： ①找出射影，求线线角； ②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,那么. 〔3〕二面角： ①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角〔或补角〕； ②求两个法向量的夹角〔或补角〕. 2．求距离 _ a _ n N M H θ 〔1〕点M到面的距离 〔如图〕就是斜线段MN在法向量方向上的正投影. 由 得距离公式： 〔2〕线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离； 〔3〕异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式. 三、双基题目练练手 1．在空间直角坐标系中，点P〔x，y，z〕，以下表达中正确的个数是 〔 〕 ①点P关于x轴对称点的坐标是P1〔x，－y，z〕 ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2〔x，－y，－z〕 ③点P关于y轴对称点的坐标是P3〔x，－y，z〕 ④点P关于原点对称的点的坐标是P4〔－x，－y，－z〕 A.3 B.2 C.1 D.0 2． 直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，那么BD1与AF1所成角的余弦值是 〔　　〕 A． B. C． D． 3．向量a=〔1，1，0〕，b=〔－1，0，2〕，且ka＋b与2a－b互相垂直，那么k= ___ 4． A〔3，2，1〕、B〔1，0，4〕，那么线段AB的中点坐标和长度分别是 ， . ◆答案提示： 1. C； 2. A； 3. ； 4.〔2，1，〕，dAB= 四、以典例题做一做 【例1】 (2023江西)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.〔1〕证明：D1E⊥A1D； 〔2〕当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； 〔3〕AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为. 解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，那么A1〔1，0，1〕，D1〔0，0，1〕，E〔1，x，0〕，A〔1，0，0〕C〔0，2，0〕 〔1〕 〔２〕因为E为AB的中点，那么E〔1，1，0〕， 从而，， 设平面ACD1的法向量为不与y轴垂直,可设 ，那么 也即，得，从而， ∴点E到平面AD1C的距离: 〔3〕 设平面D1EC的法向量， 由 依题意 ∴〔不合，舍去〕， . ∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为 【例2】〔2023全国〕四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD， 且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。 〔Ⅰ〕证明：面PAD⊥面PCD； 〔Ⅱ〕求AC与PB所成的角； 〔Ⅲ〕求面AMC与面BMC所成二面角的大小. 〔Ⅰ〕证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，那么各点坐标为A〔0，0，0〕B〔0，2，0〕，C〔1，1，0〕，D〔1，0，0〕，P〔0，0，1〕，M〔0，1， N M B A _ D C y x P z 又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD 〔Ⅱ〕解：因 由此得AC与PB所成的角为 〔Ⅲ〕解：设平面ACM的法向量为， 由得： 设平面BCM的法向量为同上得 ∴ 结合图形可得二面角A-MC-B为 解法2：在MC上取一点N〔x，y，z〕，那么存在使 要使 为所求二面角的平面角. 【例3】如图，AF DE分别是⊙O ⊙O1的直径 AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD (Ⅰ)求直线BD与EF所成的角； (Ⅱ)求异面直线BD和EF之间的距离. 解：(Ⅰ)以O为原点，BC AF OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系〔如以下图〕， 那么O〔0，0，0〕，A〔0，，0〕，B〔，0，0〕,D〔0，，8〕，E〔0，0，8〕，F〔0，，0〕 所以， 设异面直线BD与EF所成角为，那么 直线BD与EF所成的角为 (Ⅱ)设向量与BD、EF都垂直，那么有 ， ∴ BD、EF之间的距离 五．提炼总结以为师 1.求线线角、线面角、二面角的方法： 2．求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法： 同步练习 9.8用空间向量求角和距离 【选择题】 1．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，假设 =x+y+z，那么〔x，y，z〕为 〔 〕 A〔，，〕 B〔，，〕 C〔，，〕 D〔，，〕 2．在正方体A—C1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，那么A1B1与截面A1ECF所成的角为 ( ) A．arctan B．arccos C．arcsin D．都不对 【填空题】 3.空间三点A〔1，1，1〕、B〔－1，0，4〕、C〔2，－2，3〕，那么与的夹角θ的大小是_________. 4．二面角α——β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，假设AB＝AC＝BD＝，那么CD的长为 ． ◆答案提示：1.A; 2. A; 3.120°; 4. 2 【解答题】 5. 设A〔2,3,1〕，B〔4,1,2〕，C〔6,3,７〕，D〔－５,－4,8〕，求D到平面ABC的距离. 解：∵A〔2,3,1〕，B〔4,1,2〕，C〔6,3,７〕，D〔－５,－4,8〕， ∴; 设平面ABC的法向量=〔x，y，z〕，那么·=0，·=0， ∴ 即 令z=－2，那么=〔3，2，－2〕由点到平面的距离公式： ==. ∴点D到平面ABC的距离为. 6．〔2023浙江文〕如图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点. 〔Ⅰ〕求证AM∥平面BDE； 〔Ⅱ〕求证AM⊥平面BDF； 〔Ⅲ〕求二面角A—DF—B的大小； 解:〔Ⅰ〕建立如以下图的空间直角坐标系. 设，连接NE， 那么点N、E的坐标分别是〔、〔0,0,1〕, ∴=(, 又点A、M的坐标分别是 、〔. ∴ =〔 ∴ =且与AM不共线，∴NE∥AM. 又∵平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDF. 〔Ⅱ〕 〔Ⅲ〕∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A， ∴AB⊥平面ADF. 7.〔2023全国·河北〕如以以下图，四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. 〔1〕求点P到平面ABCD的距离； 〔2〕求面APB与面CPB所成二面角的大小. 解〔1〕：如以以下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE. ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB. ∵PA=PD，∴OA=OD. 于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠PEO=60°.由可求得PE=， ∴PO=PE·sin60°=×=，即点P到平面ABCD的距离为. 〔2〕解法一：如以以下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA. P〔0，0，〕，B〔0，，0〕，PB中点G的坐标为〔0，，〕，连结AG. 又知A〔1，，0〕，C〔－2，，0〕. 由此得到 =〔1，－，－〕， =〔0，，－〕，=〔－2，0，0〕. 于是有·=0，·=0， ∴⊥，⊥. ，的夹角θ等于所求二面角的平面角. 于是cosθ==－， ∴所求二面角的大小为π－arccos. 解法二：如以以下图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF， 那么AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC. ∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB.∴∠AGF是所求二面角的平面角. ∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG. 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=， 在Rt△GAE中，AE=AD=1，于是tan∠GAE== . 又∠AGF=π－∠GAE， ∴所求二面角的大小为π－arctan. 8. 如图，四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点 求：〔1〕与所成的角； 〔2〕P点到平面EFB的距离； 〔3〕异面直线PM与FQ的距离 解：建立空间直角坐标系， 那么D〔0，0，0〕、A〔a，0，0〕、B〔a，a，0〕、C〔0，a，0〕、M〔0，0，a〕、E〔a，0，a〕、F〔0，a，a〕， 那么由中点坐标公式得P〔,0,〕、Q〔,,0〕 〔1〕∴=〔－，0，〕，=〔，－，－a〕， ·=(－)×+0+×(－a)=－a2， 且||= a，||= a. ∴cos〈，〉===－. 故得两向量所成的角为150° 〔2〕设=〔x，y，z〕是平面EFB的法向量， 即⊥平面EFB，∴⊥，⊥. 又=〔－a，a，0〕， =〔0，a，－a〕， 即有， 取，那么. ∵ =〔，0，〕. ∴ 设所求距离为d，那么= a. 〔3〕设=〔x1，y1，1〕是两异面直线的公垂线的方向向量， 那么由=〔－，0，〕，=〔，－，－a〕， 得, 而 =〔0，a，0〕 所求距离=a. 9．在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，AB=4，AC=6，BD=8. ⑴求CD的长度； ⑵求CD与平面所成的角 解：⑴因为 ，故有 ， ∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴ . 〔2〕过C作CE⊥平面α于E，连接AE、CE在△ACE中，CE=6sin60°=3，连接DE，那么∠CDE就是CD与平面α所成角。