2023届内蒙古呼和浩特开来中学高三适应性调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．已知当，，时，，则以下判断正确的是 A． B． C． D．与的大小关系不确定 3．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A．180 B．90 C．45 D．360 4．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( ) A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 7．已知向量，则（ ） A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥( ) 8．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ） A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2} 10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 11．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）． A．收入最高值与收入最低值的比是 B．结余最高的月份是月份 C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同 D．前个月的平均收入为万元 12．设实数满足条件则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____． 14．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____ 15．某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）． ①； ②这名学生中数学成绩在分以下的人数为； ③这名学生数学成绩的中位数约为； ④这名学生数学成绩的平均数为． 16．平面区域的外接圆的方程是____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率. （1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) （2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望； （3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由. 18．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 19．（12分）已知函数. （1）当时，求函数的值域. （2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 20．（12分） [选修4-4：极坐标与参数方程] 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值 21．（12分）如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且. （1）证明：平面； （2）若,求二面角的余弦值. 22．（10分）已知函数 . （1）若在 处导数相等，证明： ； （2）若对于任意 ，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【题目详解】 依题意，得，故， 故，，， 则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 2、C 【答案解析】 由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果． 【题目详解】 解：设， 则， 即为增函数， 又，，，， 即， 所以， 所以． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 3、A 【答案解析】 试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，. 考点：1.二项式定理；2.组合数的计算. 4、B 【答案解析】 利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【题目详解】 如图，，设为的中点，为的中点， 由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线， 由题易知，的补角，分别为， 设三棱柱的棱长为2， 在中，， ； 在中，， ； 在中，， ， . 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养. 5、D 【答案解析】 先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解. 【题目详解】 由题得函数的定义域为. 因为， 所以为上的偶函数， 因为函数都是在上单调递减. 所以函数在上单调递减. 因为， 所以，且， 解得. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6、D 【答案解析】 由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论． 【题目详解】 解：由题意，圆的圆心为，半径， ∵圆心到直线的距离为， ， ， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 7、D 【答案解析】 由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【题目详解】 ∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A； 显然，•3+2≠0，故、不垂直，故排除B； ∴（﹣2，﹣1），显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C； ∴•（）＝﹣2+2＝0，故 ⊥（），故D正确， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题. 8、B 【答案解析】 求得双曲线的一条渐近线方程，设出的坐标，由题意求得，运用直线的斜率公式可得，，，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 【题目详解】 设双曲线的一条渐近线方程为， 且，由，可得以为圆心，为半径的圆与渐近线交于， 可得，可取，则， 设，，则，，， 由，，成等差数列，可得， 化为，即， 可得， 故选：． 【答案点睛】 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 9、A 【答案解析】 解出集合A和B即可求得两个集合的并集. 【题目详解】 ∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}， B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A． 【答案点睛】 此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 10、C 【答案解析】 框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【题目详解】 第一次循环：；第二次循环：； 第三次循环：；第四次循环：； 此时满足输出结果，故. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 11、D 【答案解析】 由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确； 结余最高为月份，为，故项正确； 至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确； 前个月的平均收入为万元，故项错误． 综上，故选． 12、C 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【题目详解】 如图所示：画出可行域和目标函数， ，即，表示直线在轴的截距加上1， 根据图像知，当时，且时，有最大值为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可. 【题目详解】 解：复数为纯虚数, 解得． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 14、 【答案解析】 设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率. 【题目详解】 设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点， 故，所以此点取自内的概率是． 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题. 15、②③ 【答案解析】 由频率分布直方图可知，解得，故①不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故②正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故③正确；④这名学生数学成绩的平均数为 ，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③． 16、 【答案解析】 作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为，将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【题目详解】 作出不等式组所表示的平面区域如下图所示： 由图可知，平面区域为，联立，解得，则点， 同理可得点、， 设的外接圆方程为， 由题意可得，解得，，， 因此，所求圆的方程为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析 【答案解析】 （1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差； （2）由题意知服从二项分布，分别求出，，，，进而可求出分布列以及数学期望； （3）由第一问可知服从正态分布，继而可求出的值，从而可判断. 【题目详解】 解：（1） （2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在的概率为0.7. 随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量服