2023届吉林市第一中学高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，若函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件 7．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 8．设为锐角，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．集合,则集合的真子集的个数是 A．1个 B．3个 C．4个 D．7个 10．i是虚数单位，若，则乘积的值是( ) A．－15 B．－3 C．3 D．15 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D．84 12．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设，则_____， （的值为______． 14．已知集合，，则__________． 15．正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是______. 16．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系. （1）求的直角坐标方程与点的直角坐标； （2）求证：. 18．（12分）已知. （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围 19．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B级的概率； （2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元. ①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望. 20．（12分）在四棱柱中，底面为正方形，，平面． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 21．（12分）在中，内角的对边分别是，已知. （1）求角的值； （2）若，，求的面积． 22．（10分）设函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）证明：，恒成立. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 试题分析：由于在等比数列中，由可得：， 又因为， 所以有：是方程的二实根，又，，所以， 故解得：，从而公比； 那么， 故选D． 考点：等比数列． 2、A 【答案解析】 由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决. 【题目详解】 由已知可得，，所以，从而双曲线方程为 ，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时， 此时，所以， ，所以； 当轴时，，所以，又为锐角三 角形，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题. 3、C 【答案解析】 对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当时有极大值，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点的通项公式，且相应极大值，分组求和即得 【题目详解】 当时，， 显然当时有，， ∴经单调性分析知 为的第一个极值点 又∵时， ∴，，，…，均为其极值点 ∵函数不能在端点处取得极值 ∴，， ∴对应极值，， ∴ 故选：C 【答案点睛】 本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题 4、C 【答案解析】 分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果. 详解：由题意可得，在中，因为， 所以，因为， 所以，， 结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为， 所以，即，所以， 因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形， 所以充分性不满足， 反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D. 点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征. 5、B 【答案解析】 利用向量的数量积运算即可算出． 【题目详解】 解： ，， 又在上 ， 故选： 【答案点睛】 本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 6、D 【答案解析】 由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【题目详解】 设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意， 画出可行域如图所示， 显然当经过时，最大. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 7、D 【答案解析】 根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果. 【题目详解】 关于直线对称的直线方程为： 原题等价于与有且仅有四个不同的交点 由可知，直线恒过点 当时， 在上单调递减；在上单调递增 由此可得图象如下图所示： 其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为 由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点 设，，则，解得： 设，，则，解得： ，则 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解. 8、D 【答案解析】 用诱导公式和二倍角公式计算． 【题目详解】 ． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 9、B 【答案解析】 由题意，结合集合，求得集合，得到集合中元素的个数，即可求解，得到答案． 【题目详解】 由题意，集合， 则， 所以集合的真子集的个数为个，故选B． 【答案点睛】 本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合，再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 10、B 【答案解析】 ，∴，选B． 11、B 【答案解析】 画出几何体的直观图，计算表面积得到答案. 【题目详解】 该几何体的直观图如图所示： 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 12、B 【答案解析】 求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、720 1 【答案解析】 利用二项展开式的通式可求出；令中的，得两个式子，代入可得结果. 【题目详解】 利用二项式系数公式，，故， ， 故（ =， 故答案为：720；1. 【答案点睛】 本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题. 14、 【答案解析】 解一元二次不等式化简集合，再进行集合的交运算，即可得到答案. 【题目详解】 ，， . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题. 15、 【答案解析】 由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的取值范围. 【题目详解】 连接，如下图所示： 设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径， 由向量线性运算可知 正方体的棱长为2，则球的半径为1，， 所以 ， 而 所以， 即 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题. 16、. 【答案解析】 先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程. 【题目详解】 因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－