2023学年黑龙江省大庆市第二中学高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A．③④ B．①② C．②④ D．①③④ 3．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( ) A． B． C． D． 4．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．为虚数单位,则的虚部为（ ） A． B． C． D． 6．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 7． “”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 9．设全集U=R，集合，则（　　） A． B． C． D． 10．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ） A． B．3 C．1 D． 11．复数（为虚数单位），则等于（ ） A．3 B． C．2 D． 12．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______. 14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________. 15．已知公差大于零的等差数列中，、、依次成等比数列，则的值是__________． 16．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示： 不喜欢 喜欢 男性青年观众 40 10 女性青年观众 30 80 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值． 18．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，点在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交轴于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求点的坐标. 19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表： 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出人，进行体育锻炼体会交流． （i）求这人中，男生、女生各有多少人？ （ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0 2.706 3.841 5.024 6.635 20．（12分）已知数列满足，等差数列满足， （1）分别求出，的通项公式； （2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：． 21．（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点. （ⅰ）求面积最大值； （ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值. 22．（10分）已知函数. （1）当时，解不等式； （2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率. 【题目详解】 取的中点，则由得， 即； 在中，为的中位线， 所以， 所以； 由双曲线定义知，且，所以， 解得， 故选：D 【答案点睛】 本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般. 2、A 【答案解析】 由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④. 【题目详解】 由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误； ,,则,故②错误,③正确； 显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 故选:A 【答案点睛】 本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数. 3、D 【答案解析】 根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可． 【题目详解】 解：抛物线的焦点，准线方程为， 设，则，故，此时，即． 则直线的斜率． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题． 4、A 【答案解析】 首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【题目详解】 由于为上的减函数，则有，可得， 所以当最小时，， 函数恰有两个零点等价于方程有两个实根， 等价于函数与的图像有两个交点． 画出函数的简图如下，而函数恒过定点， 数形结合可得的取值范围为． 故选：A. 【答案点睛】 该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目. 5、C 【答案解析】 利用复数的运算法则计算即可. 【题目详解】 ，故虚部为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题. 6、D 【答案解析】 求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案. 【题目详解】 由题意，直线的斜率为， 可得直线的方程为， 把直线的方程代入双曲线，可得， 设，则， 由的中点为，可得，解答， 又由，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 7、A 【答案解析】 首先利用二倍角正切公式由，求出，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【题目详解】 解：∵，∴可解得或， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题． 8、C 【答案解析】 套用命题的否定形式即可. 【题目详解】 命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”. 故选：C 【答案点睛】 本题考查全称命题的否定，属于基础题. 9、A 【答案解析】 求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可． 【题目详解】 ， ， 则， 故选：A． 【答案点睛】 本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题． 10、D 【答案解析】 整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【题目详解】 由题,, 因为纯虚数,所以,则, 故选:D 【答案点睛】 本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 11、D 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解. 【题目详解】 ， 所以，， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目. 12、B 【答案解析】 利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【题目详解】 如图，，设为的中点，为的中点， 由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线， 由题易知，的补角，分别为， 设三棱柱的棱长为2， 在中，， ； 在中，， ； 在中，， ， . 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；，可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离， 最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论. 【题目详解】 边长为，则中线长为， 点到平面的距离为， 点是以为直径的球面上的点， 所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离， 最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径. 又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4， 以下求过和的两个平行平面间距离， 分别取中点，连， 则，同理， 分别过做， 直线确定平面，直线确定平面， 则，同理， 为所求，， ， 所以到直线最大距离为. 故答案为:；. 【答案点睛】 本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题. 14、 【答案解析】 根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【题目详解】 因为， 所以， 又 故切线方程为， 整理为， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题. 15、 【答案解析】 利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与的关系，然后转化求解的值. 【题目详解】 设等差数列的公差为，则， 由于、、依次成等比数列，则，即， ，解得，因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题. 16、32 【答案解析】 由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量. 【题目详解】 由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人， 则分层抽样