2023年高考数学复习第三章数列理北师大版.docx

第三章 数列 1、设数列{an}的前n项和为Sn, ，且( n∈Nx)， 那么过点P(n,) 和Q(n+2,)( n∈Nx)的直线的一个方向向量的坐标可以是 〔 〕 A．〔2，〕 B．(-1, -1) C．(, -1) D．〔〕 1、D 【思路分析】由条件知=2 ∴{}是等差数列，∴= 5+ (n – 1)×2 = 2n + 3 ∴Sn = 2n2 + 3n，当n≥2时，an = Sn = Sn – 1 = 4n+1 (a1也适合) ∴kPQ == 4，设直线PQ的方向向量为= (a , b)，那么有= 4，只有D符合. 【命题分析】考查等差数列的通项与前n项和，递推数列，直线的方程以及方向向量等根底知识. 2〔文〕数列{an}中a1=1满足an+1=an+2n，nNx，那么an=〔 〕 A．n2+n+1 B．n2-n+1 C．n2-2n+2 D．2n2-2n+1 2．解答：由开口向上得：a＞0，由顶点在第二象限得：b＞0 选C 评析：此题考察考生对导数及一次、二次函数图象的应用。 〔文〕解答：用特值法，取n=1，2即可。a2=3选B 评析：此题考察考生对特值法的应用。 3、函数 且 ， 那么 ( ) A.100 B.-100 C. D. 3、A 为奇数时 为偶数 ， ， 为偶数时，为奇数， ∴ ， ， ，， ， ，…… ， ∴ ， ， ，…… ， ∴ … . 4、等差数列{an}的前n项和为，假设,那么等于 〔 〕 A．72 B．54 C．36 D．18 1、 A 【思路分析】：由得， 【命题分析】：考察等差数列的通项公式、求和公式及性质 5、数列满足〔且〕，，是的前次和，那么为 〔 〕 A、 B、 C、6 D、10 5、〔分析：显然是一个等和数列，即形如： ，1，，1,…… ∴ 选A项〕 6．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，那么a8a10a12=〔 〕 A．32 B．64 C．±64 D．256 6．B [思路分析]：由等比数列的性质知： ∴a10=4 那么a8a10a12=64 [命题分析]：考查等比数列的性质 7．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数〞，数列，，……，的“理想数〞为2023，那么数列2， ，，……，的“理想数〞为 A．2023 B． 2004 C． 2023 D． 2023 7． C【思路分析】： 【命题分析】：考查理解能力 8．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 1 2 3 4 5 6 7 …………… 那么第8行中的第5个数是 A、68 B、132 C、133 D、260 8C 9．〔理〕设数列的前项和为，关于数列有以下三个命题： ①假设数列既是等差数列又是等比数列，那么； ②假设，那么数列是等差数列； ③假设，那么数列是等比数列. 这些命题中，真命题的个数是 . A．0 B．1 C．2 D．3 9．理D【思路分析】：①不妨设数列的前三项为，那么其又成等比数列，故，∴，即；②由的公式，可求出，故是等差数列；③由可求由，故数列是等比数列. 应选. 【命题分析】：考查等差、等比数列的概念，与的关系，思维的灵活性. 10、〔文〕等差数列的公差且，那么数列的前项和取得最大值时的项数是〔 〕 A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 10、文C【思路分析】：由，知. ∴，应选C. 【命题分析】：考查等差数列的性质，求和公式. 要求学生能够运用性质简化计算. 11、〔理〕设=，数列满足 ，那么数列的通项公式是 . 11、理 【思路分析】:令那么, 那么，两式相减得：时，，且，∴. 【命题分析】：考查运用所学知识解决实际问题的能力，数列函数的思想，通项的求法，组合数的公式等知识. 12．(14分)函数f(x)＝－x3＋ax在(0，1)上是增函数． (1)　求实数a的取值集合A； (2)　当a取A中最小值时，定义数列{an}满足：2an＋1＝f(an)，且a1＝b∈(0，1)(b为常数)，试比拟an＋1与an的大小； (3)　在(2)的条件下，问是否存在正实数c．使0<＜2对一切n∈Nx恒成立？ 12．(1)f'(x)＝3x2＋a＞0，对x∈(0，1)恒成立，求出a≥3．………………4分 (2)当a＝3时，由题意：an＋1＝－a＋an，且a1＝b∈(0，1) 　以下用数学归纳法证明：an∈(0，1)，对n∈Nx恒成立． ①当n＝1时，a1＝b∈(0，1)成立；………………………………………………6分 ②假设n＝k时，ak∈(0，1)成立，那么当n＝k＋1时， ak＋1＝ak3＋ak，由①知g(x)＝(－x3＋3x) 在(0，1)上单调递增，∴g(0)＜g(ak)＜g(1) 即0＜ak＋1＜1， 　由①②知对一切n∈Nx都有an∈(0，1) 　而an＋1－an＝－an3＋an－an＝an(1－an2)＞0 ∴an＋1＞an…………………………………………………………………………10分 (3)存在正实数c，使0＜＜2恒成立,令y＝＝1＋，在(c，＋∞)上是减数， ∴随着an增大，而小， 　又{an}为递增数列，所以要使0＜＜2恒成立， 　只须∴0＜c＜，即0＜c＜……… 13、(此题总分值14分) 数列{an}中，a1>0, 且an+1=， (Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列； (Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立； (Ⅲ)假设a1 = 2，设bn = | an+1－an| (n = 1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn<． 13、【思路分析】：解：(Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列，那么 an+1== an ……………………2’ 又依a1>0，可得an>0并解出：an=，即a1 = an = ……………………4’ (Ⅱ)研究an+1－an=－= (n≥2) 注意到>0 因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1有相同的符号7’ 要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2－a1>0即可. 由>0，解得：0<a1<……………………………………………9’ (Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得 当a1>时，an+1<an对任何自然数n都成立. 因此当a1=2时，an+1－an<0 ……………………………………………10’ ∴ Sn= b1+b2+…bn =|a2－a1| + |a3－a2| +…+ |an+1－an| =a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an+1 =a1－an+1=2－an+1 ………………………………………………………13’ 又：an+2=< an+1，可解得an+1>, 故Sn<2－=………………………………………………………………14’ 14、〔此题总分值12分〕数列的前项和，且， 。〔1〕求数列的通项次式；〔2〕定理：假设函数在区内D上是凹函数，且存在，那么当时，总有且函数在上是凹函数，试判断与的大小。〔3〕求证： 14、解：〔1〕时，，又， ∴ 从而 当时也满足 ∴ 〔2〕，对于凹函数，，有 令得即 〔3〕∵ ∴ 又由〔2〕 ∴ 〔点评：此题考查了数列的知识，解起来比拟繁琐，一定要仔细，会常常用到二次项式定理和其它一些知识〕 15、函数〔nN+〕且y=f(x)的图象经过(1,n2)，数列{an}为等差数列。 〔14′〕 ①求数列{an}的通项公式； ②当n为奇数时，设g(x)=，问是否存在自然数m和M使得不等式恒成立？假设存在，求出m与M，假设不存在说明理由。 15、[思路分析]：〔I〕由题意得f(1)=n2，即a0+a1+a2+…+an=n2。 令n=1，那么a0+a1=1. 令n=2，那么a0+a1+a2=22. a2=4-(a0+a1)=3. 令n=3，那么a0+a1+a2+a3=32, a3=9-( a0+a1+a2)=5. 设等差数列{an}的公差为d，那么 d=a3-a2，a1= a2-d=1，a0=0. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1.…………………………………………………………6′ 〔II〕由〔I〕知：f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn. n为奇数时，f(-x)=-a1x +a2x2-a3x3+…+an-1xn-1-anxn. ∴ =a1x+a3x3+a5x5+…+an-2xn-2+anxn. ① ② 由①-②得 ∴…………………………………………10′ 设， ∴,(nN+)， ∴cn随n的增加而减小. 又随n的增大而减小， ∴为n的增函数. 当n=1时，=, 而=-， ∴≤<. 由此易知：使恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2。 [命题分析]：此题是函数、数列与不等式的综合大题，主要考查了奇函数的概念、数列的单调性及数列求和的方法。 16、函数，数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列〔q≠1，〕，假设,，，． （1） 求数列{}和{}的通项公式； （2） 设数列{}的前n项和为，对都有…　　求． （3） 假设数列满足， ，试判断中的最大项为第几项，并说明理由。 16、解：〔1〕数列{}为等比数列，　∴　．为等比数列， 　　又∵　， 　　∴　，解得d＝2，． 　　∴　．又∵　为等比数列，∴　． 　　而　，∴　 　　∵　，，∴　，．∴　． 4分 　　〔2〕由…　　　　　　　　　　　　　　　　① 　　　 …　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　①-②得．∴　． 　　对于，，，知其为等比数列． 　　∴　，，． 　　∴　． 8分 　〔3〕 ∴ 　 ∴ ∴ 当时， 　当时， ， ， 　而 故中的最大项为第8项。 17、〔14分〕点,点A1(x1,0),A2(x,0),…，An(xn,0),…顺次为x轴上的点,其中x1=a〔0＜a≤1).对于任意n∈Nx，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形. (1)求数列{yn}的通项公式，并证明它为等差数列； (2)求证：x- x是常数，并求数列{ x}的通项公式； (3)上述等腰ΔAnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，假设可能，求出此时a的值；假设不可能，请说明理由． 17、 …………2分 相减，得x-x=2 ∴x，x，x，…，x，…成等差数列；x，x，x，…，x，…成等差数列，4分 ∴x= x+〔n-1〕·2=2n+a-2， x= x+〔n-1〕·2=〔2-a〕+〔n-1〕·2=2n-a …………7分 (3)当n奇数时，An〔n+a-1，0〕，An+