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2023年全国高中数学联合竞赛试题及解析苏教版.docx
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2023 全国 高中数学 联合 竞赛 试题 解析 苏教版
2023年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷) 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、选择题(此题总分值36分,每题6分) 1.函数在上的最小值是 ( C ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解]当时,,因此 ,当且仅当时上式取等号.而此方程有解,因此在上的最小值为2. 2.设,,假设,那么实数的取值范围为 ( D ) A. B. C. D. [解法一] 因有两个实根 ,, 故等价于且,即 且, 解之得. [解法二](特殊值验证法)令,排除C,令,排除A、B,应选D。 [解法三](根的分布)由题意知的两根在内,令那么解之得: 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,那么比赛停止时已打局数的期望为     ( B ) A.   B.   C.     D. [解法一] 依题意知,的所有可能值为2,4,6. 设每两局比赛为一轮,那么该轮结束时比赛停止的概率为      . 假设该轮结束时比赛还将继续,那么甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有     ,     ,     , 故. [解法二] 依题意知,的所有可能值为2,4,6. 令表示甲在第局比赛中获胜,那么表示乙在第局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得 , , , 故. 4.假设三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的外表积之和为564 cm2,那么这三个正方体的体积之和为 ( A ) A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3   C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3 [解] 设这三个正方体的棱长分别为,那么有,,不妨设,从而,.故.只能取9,8,7,6. 假设,那么,易知,,得一组解. 假设,那么,.但,,从而或5.假设,那么无解,假设,那么无解.此时无解. 假设,那么,有唯一解,. 假设,那么,此时,.故,但,故,此时无解. 综上,共有两组解或 体积为cm3或cm3. 5.方程组的有理数解的个数为 ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解] 假设,那么解得或 假设,那么由得. ① 由得. ② 将②代入得. ③ 由①得,代入③化简得. 易知无有理数根,故,由①得,由②得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或 6.设的内角所对的边成等比数列,那么的取值范围是 ( C ) A. B. C. D. [解] 设的公比为,那么,而   . 因此,只需求的取值范围. 因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,必需且只需且.即有不等式组 即 解得 从而,因此所求的取值范围是. 二、填空题(此题总分值54分,每题9分) 7.设,其中为实数,,,,假设,那么   5 . [解] 由题意知 , 由得,,因此,,. 8.设的最小值为,那么. [解] , (1) 时,当时取最小值; (2) 时,当时取最小值1; (3) 时,当时取最小值. 又或时,的最小值不能为, 故,解得,(舍去). 9.将24个志愿者名额分配给3个学校,那么每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有  222  种. [解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用表示名额.如    表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额. 假设把每个“〞与每个“〞都视为一个位置,由于左右两端必须是“|〞,故不同的分配方法相当于个位置(两端不在内)被2个“|〞占领的一种“占位法〞. “每校至少有一个名额的分法〞相当于在24个“〞之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|〞,故有种. 又在“每校至少有一个名额的分法〞中“至少有两个学校的名额数相同〞的分配方法有31种. 综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种. [解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为,那么每校至少有一个名额的分法数为不定方程      . 的正整数解的个数,即方程的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合: . 又在“每校至少有一个名额的分法〞中“至少有两个学校的名额数相同〞的分配方法有31种. 综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种. 10.设数列的前项和满足:,,那么通项=. [解] , 即 2 =, 由此得 2. 令, (), 有,故,所以. 11.设是定义在上的函数,假设 ,且对任意,满足 ,,那么=. [解法一] 由题设条件知 , 因此有,故 . [解法二] 令,那么 , , 即, 故, 得是周期为2的周期函数, 所以. 12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,那么该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是. [解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面//平面,与小球相切于点,那么小球球心为正四面体的中心,,垂足为的中心. 因 答12图1 , 故,从而. 记此时小球与面的切点为,连接,那么 . 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2.记正四面体 的棱长为,过作于. 答12图2 因,有,故小三角形的边长. 小球与面不能接触到的局部的面积为(如答12图2中阴影局部) .          又,,所以 . 由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为. 三、解答题(此题总分值60分,每题20分) 13.函数的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为,求证: 答13图       . [证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示,且在内相切,其切点为,. …5分 由于,,所以,即. …10分 因此 …15分 .                     …20分 14.解不等式 . [解法一] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于 .               即       .              …5分 分组分解    , ,             …10分 所以   ,      . …15分 所以,即或. 故原不等式解集为.   …20分 [解法二] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于 .              …5分 即 , ,   …10分 令,那么不等式为 , 显然在上为增函数,由此上面不等式等价于 , …15分 即,解得 (舍去), 故原不等式解集为.   …20分 题15图 15.如题15图,是抛物线上的动点,点在轴上,圆内切于,求面积的最小值. [解] 设,不妨设. 直线的方程:, 化简得 . 又圆心到的距离为1, , …5分 故, 易知,上式化简得, 同理有.               …10分 所以,,那么 . 因是抛物线上的点,有,那么 ,.        …15分 所以   . 当时,上式取等号,此时. 因此的最小值为8. …20分 2023年全国高中数学联合竞赛加试(A卷) 试题参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、(此题总分值50分) 如题一图,给定凸四边形,,是平面上的动点,令. (Ⅰ)求证:当到达最小值时,四点共圆; (Ⅱ)设是外接圆的上一点,满足:,,,又是的切线,,求的最小值. [解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点,有 答一图1 . 因此 . 因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号,因此当且仅当在的外接圆且在上时, . …10分 又因,此不等式当且仅当共线且在上时取等号.因此当且仅当为的外接圆与的交点时,取最小值. 故当达最小值时,四点共圆. …20分 (Ⅱ)记,那么,由正弦定理有,从而,即,所以 , 整理得,                …30分 解得或(舍去), 故,. 由=,有,即,整理得,故,可得,

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