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2023
全国
高中数学
联合
竞赛
试题
解析
苏教版
2023年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、选择题(此题总分值36分,每题6分)
1.函数在上的最小值是 ( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解]当时,,因此
,当且仅当时上式取等号.而此方程有解,因此在上的最小值为2.
2.设,,假设,那么实数的取值范围为 ( D )
A. B. C. D.
[解法一] 因有两个实根
,,
故等价于且,即
且,
解之得.
[解法二](特殊值验证法)令,排除C,令,排除A、B,应选D。
[解法三](根的分布)由题意知的两根在内,令那么解之得:
3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,那么比赛停止时已打局数的期望为 ( B )
A. B. C. D.
[解法一] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,那么该轮结束时比赛停止的概率为
.
假设该轮结束时比赛还将继续,那么甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
,
,
,
故.
[解法二] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.
令表示甲在第局比赛中获胜,那么表示乙在第局比赛中获胜.
由独立性与互不相容性得
,
,
,
故.
4.假设三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的外表积之和为564 cm2,那么这三个正方体的体积之和为 ( A )
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为,那么有,,不妨设,从而,.故.只能取9,8,7,6.
假设,那么,易知,,得一组解.
假设,那么,.但,,从而或5.假设,那么无解,假设,那么无解.此时无解.
假设,那么,有唯一解,.
假设,那么,此时,.故,但,故,此时无解.
综上,共有两组解或
体积为cm3或cm3.
5.方程组的有理数解的个数为 ( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解] 假设,那么解得或
假设,那么由得. ①
由得. ②
将②代入得. ③
由①得,代入③化简得.
易知无有理数根,故,由①得,由②得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或
6.设的内角所对的边成等比数列,那么的取值范围是
( C )
A. B.
C. D.
[解] 设的公比为,那么,而
.
因此,只需求的取值范围.
因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,必需且只需且.即有不等式组
即
解得
从而,因此所求的取值范围是.
二、填空题(此题总分值54分,每题9分)
7.设,其中为实数,,,,假设,那么 5 .
[解] 由题意知
,
由得,,因此,,.
8.设的最小值为,那么.
[解]
,
(1) 时,当时取最小值;
(2) 时,当时取最小值1;
(3) 时,当时取最小值.
又或时,的最小值不能为,
故,解得,(舍去).
9.将24个志愿者名额分配给3个学校,那么每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用表示名额.如
表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.
假设把每个“〞与每个“〞都视为一个位置,由于左右两端必须是“|〞,故不同的分配方法相当于个位置(两端不在内)被2个“|〞占领的一种“占位法〞.
“每校至少有一个名额的分法〞相当于在24个“〞之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|〞,故有种.
又在“每校至少有一个名额的分法〞中“至少有两个学校的名额数相同〞的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为,那么每校至少有一个名额的分法数为不定方程
.
的正整数解的个数,即方程的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:
.
又在“每校至少有一个名额的分法〞中“至少有两个学校的名额数相同〞的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
10.设数列的前项和满足:,,那么通项=.
[解] ,
即 2
=,
由此得 2.
令, (),
有,故,所以.
11.设是定义在上的函数,假设 ,且对任意,满足
,,那么=.
[解法一] 由题设条件知
,
因此有,故
.
[解法二] 令,那么
,
,
即,
故,
得是周期为2的周期函数,
所以.
12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,那么该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.
[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面//平面,与小球相切于点,那么小球球心为正四面体的中心,,垂足为的中心.
因
答12图1
,
故,从而.
记此时小球与面的切点为,连接,那么
.
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2.记正四面体
的棱长为,过作于.
答12图2
因,有,故小三角形的边长.
小球与面不能接触到的局部的面积为(如答12图2中阴影局部)
.
又,,所以
.
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为.
三、解答题(此题总分值60分,每题20分)
13.函数的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为,求证:
答13图
.
[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示,且在内相切,其切点为,.
…5分
由于,,所以,即. …10分
因此
…15分
. …20分
14.解不等式
.
[解法一] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于
.
即 . …5分
分组分解
,
, …10分
所以 ,
. …15分
所以,即或.
故原不等式解集为. …20分
[解法二] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于
. …5分
即
,
, …10分
令,那么不等式为
,
显然在上为增函数,由此上面不等式等价于
, …15分
即,解得 (舍去),
故原不等式解集为. …20分
题15图
15.如题15图,是抛物线上的动点,点在轴上,圆内切于,求面积的最小值.
[解] 设,不妨设.
直线的方程:,
化简得 .
又圆心到的距离为1,
, …5分
故,
易知,上式化简得,
同理有. …10分
所以,,那么
.
因是抛物线上的点,有,那么
,. …15分
所以
.
当时,上式取等号,此时.
因此的最小值为8. …20分
2023年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)
试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分;
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、(此题总分值50分)
如题一图,给定凸四边形,,是平面上的动点,令.
(Ⅰ)求证:当到达最小值时,四点共圆;
(Ⅱ)设是外接圆的上一点,满足:,,,又是的切线,,求的最小值.
[解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点,有
答一图1
.
因此
.
因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号,因此当且仅当在的外接圆且在上时,
. …10分
又因,此不等式当且仅当共线且在上时取等号.因此当且仅当为的外接圆与的交点时,取最小值.
故当达最小值时,四点共圆. …20分
(Ⅱ)记,那么,由正弦定理有,从而,即,所以
,
整理得, …30分
解得或(舍去),
故,.
由=,有,即,整理得,故,可得,