2023学年青海省黄南市高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（ ） A．（1，＋∞） B．（1，2） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞） 2．定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 3．已知是虚数单位，则复数（ ） A． B． C．2 D． 4．设为自然对数的底数，函数，若，则( ) A． B． C． D． 5．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 7．设是虚数单位，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 8．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ） A． B． C． D． 9．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A． B． C． D． 11．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．若θ是第二象限角且sinθ =，则= A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E，F分别为，的中点，，则球O的体积为______. 14．已知函数，若，则的取值范围是__ 15．已知正实数满足，则的最小值为 ． 16．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. （1）求的周长； （2）求面积的最大值. 18．（12分）分别为的内角的对边.已知. （1）若，求； （2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长. 19．（12分） 已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数在上的最小值； （Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：. 20．（12分）如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，为的中点，. （1）求线段的长. （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 21．（12分）在平面四边形中，已知，. （1）若，求的面积； （2）若求的长. 22．（10分）设函数. （1）时，求的单调区间； （2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 ， ， ∴． 故选． 2、B 【答案解析】 先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可. 【题目详解】 若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意； 若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数求导得，由得， 由图象可知，满足不等式的的取值范围是， 因此，函数的单调递减区间为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题. 3、A 【答案解析】 根据复数的基本运算求解即可. 【题目详解】 . 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题. 4、D 【答案解析】 利用与的关系，求得的值. 【题目详解】 依题意， 所以 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查函数值的计算，属于基础题. 5、C 【答案解析】 将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得. 【题目详解】 将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作： 则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为， 由中位线定理可得且， 所以即为与直线所成的角， ， 由余弦定理可得 ， 所以直线与直线所成角的余弦值为， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题. 6、D 【答案解析】 根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程. 【题目详解】 如图所示： 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以渐近线方程为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半. 7、C 【答案解析】 由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值. 【题目详解】 解：， ，解得：. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算. 8、C 【答案解析】 令，求出在的对称轴，由三角函数的对称性可得，将式子相加并整理即可求得的值. 【题目详解】 令，得，即对称轴为. 函数周期，令，可得.则函数在上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知， 将以上各式相加得： 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式. 9、D 【答案解析】 由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可. 【题目详解】 设等比数列的公比为，则， 由题意得，，得，解得， 得. 当时，；当时，， 则的最小值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 10、C 【答案解析】 先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【题目详解】 从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有种情况， 2张均没有奖的情况有（种），故所求概率为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 11、A 【答案解析】 首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【题目详解】 由于为上的减函数，则有，可得， 所以当最小时，， 函数恰有两个零点等价于方程有两个实根， 等价于函数与的图像有两个交点． 画出函数的简图如下，而函数恒过定点， 数形结合可得的取值范围为． 故选：A. 【答案点睛】 该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目. 12、B 【答案解析】 由θ是第二象限角且sinθ =知：，． 所以． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 可证，则为的外心，又则平面 即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得. 【题目详解】 解：，， ，因为为的中点，所以为的外心， 因为，所以点在内的投影为的外心， 所以平面， 平面 ， 所以， 所以， 又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题． 14、 【答案解析】 根据分段函数的性质，即可求出的取值范围. 【题目详解】 当时， ， ， 当时，， 所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题. 15、4 【答案解析】 由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【题目详解】 . 当且仅当时等号成立. 据此可知：的最小值为4. 【答案点睛】 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 16、 【答案解析】 先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果. 【题目详解】 剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数，这四个数的中位数为，则所剩数据的平均数与中位数的差为. 【答案点睛】 本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）12（2） 【答案解析】 （1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义； （2）求出椭圆的标准方程，设，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面积，即可求解最大值. 【题目详解】 （1）设椭园的焦距为，则，故.则椭圆过点，由椭圆定义知:，故， 因此，的周长； （2）由（1）知:，椭圆方程为:设，则， ，，，， 当且仅当在短轴顶点处取等，故面积的最大值为. 【答案点睛】 此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大. 18、（1）（2） 【答案解析】 （1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出； （2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大， 结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长． 【题目详解】 （1）由，得， 即. 因为，所以. 由，得. （2）因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 因为的面积. 所以当时，的面积取得最大值， 此时，则， 所以的周长为. 【答案