2023学年齐鲁教科研协作体、湖北重高高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知实数x，y满足，则的最小值等于（ ） A． B． C． D． 2．若，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ） A． B． C． D． 5． “”是“函数的图象关于直线对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．设函数的定义域为，命题：，的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 8．已知函数，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数图像关于对称 D．函数图像关于对称 9．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（ ） A．36 B．72 C． D． 10．已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 11．已知的垂心为，且是的中点，则（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 12．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____ 14．抛物线的焦点坐标为______. 15．如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______． 16．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数f(x）=xlnx，g(x)=, （1）求f(x)的最小值； （2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：对一切，都有成立． 18．（12分）如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为． （Ⅰ）求椭圆与椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值. 19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线与曲线交于，两点，若，求的值. 20．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线为参数）与圆的位置关系． 21．（12分）已知向量，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值． 22．（10分）已知中，角所对边的长分别为，且 （1）求角的大小； （2）求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出． 【题目详解】 因为实数，满足， 设，， ， 恒成立， ， 故则的最小值等于. 故选：． 【答案点睛】 本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 2、D 【答案解析】 通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部. 【题目详解】 由题可知， 所以的虚部是1. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 3、D 【答案解析】 根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程. 【题目详解】 如图所示： 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以渐近线方程为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半. 4、D 【答案解析】 由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式. 【题目详解】 由图象可得，函数的最小正周期为，. 将点代入函数的解析式得，得， ，，则，， 因此，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5、A 【答案解析】 先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解. 【题目详解】 若函数的图象关于直线对称， 则， 解得， 故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 6、C 【答案解析】 根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值. 【题目详解】 由题意知，则其中，． 又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此． ①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去； ②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去； ③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立； 综上所得的最大值为． 故选:C 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 7、D 【答案解析】 根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【题目详解】 因为：，是全称命题， 所以其否定是特称命题，即，. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 8、C 【答案解析】 依题意可得，即函数图像关于对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【题目详解】 解：由， ，所以函数图像关于对称， 又，在上不单调. 故正确的只有C， 故选：C 【答案点睛】 本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 9、A 【答案解析】 根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到. 【题目详解】 等比数列满足，，所以，又，所以，由等差数列的性质可得. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 10、D 【答案解析】 由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥， 又由，所以， 在直角中，因为，所以， 设外接球的半径为， 在中，可得，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选:D. 【答案点睛】 本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题. 11、A 【答案解析】 由垂心的性质，得到，可转化，又即得解. 【题目详解】 因为为的垂心，所以， 所以，而， 所以， 因为是的中点， 所以 ． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 12、B 【答案解析】 满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【题目详解】 满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、2025 【答案解析】 利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数. 【题目详解】 依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为： 令，得，所以的系数为. 故答案为：2025 【答案点睛】 本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题. 14、 【答案解析】 变换得到，计算焦点得到答案. 【题目详解】 抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题. 15、1 【答案解析】 写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分． 【题目详解】 解：所有的数为：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9个数， 去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7个数， 平均分为， 故答案为1． 【答案点睛】 本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题． 16、 【答案解析】 由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得. 【题目详解】 解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起， 在中，，，，如下图所示， 底面圆的半径为， 则所形成的几何体的表面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1) (2)（ (3)见证明 【答案解析】 （1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明. 【题目详解】 （1） 当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=； （2）因为所以问题等价于在上恒成立， 记则， 因为， 令 函数f(x）在（0,1）上单调递减; 函数f(x）在（1，+）上单调递增； 即， 即实数a的取值范围为（. （3）问题等价于证明 由（1）知道 ，令 函数在（0,1）上单调递增； 函数在（1，+）上单调递减； 所以{， 因此，因