2023届三明市重点中学高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 2． “”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 4．偶函数关于点对称，当时，，求（ ） A． B． C． D． 5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）. A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸 6．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（ ） A． B． C． D． 8．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A．12 B．16 C．20 D．8 9．　　 A． B． C． D． 10．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 11．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 12．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线在点处的切线方程为______. 14．正四面体的各个点在平面同侧，各点到平面的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________． 15．已知，则_____ 16．已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量满足，且，，，存在，对于任意的实数，不等式，则实数的取值范围是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设函数其中 (Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值; (Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，. 18．（12分）如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，，交于点．求证：~． 19．（12分）已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 20．（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求. 21．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点． （1）证明：AP∥平面EBD； （2）证明：BE⊥PC． 22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积. 【题目详解】 如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，. 因为，故， 因为，故. 由正弦定理可得，故，又因为，故. 因为，故平面，所以， 因为平面，平面，故，故， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度. 2、A 【答案解析】 首先利用二倍角正切公式由，求出，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【题目详解】 解：∵，∴可解得或， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题． 3、A 【答案解析】 根据题意得到，化简得到，得到答案. 【题目详解】 根据题意知：焦点到渐近线的距离为， 故，故渐近线为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4、D 【答案解析】 推导出函数是以为周期的周期函数，由此可得出，代值计算即可. 【题目详解】 由于偶函数的图象关于点对称，则，， ，则， 所以，函数是以为周期的周期函数， 由于当时，，则. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 5、B 【答案解析】 试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 6、C 【答案解析】 可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系. 【题目详解】 解：因为，即，又， 设，根据条件，，； 若，，且，则：； 在上是减函数； ； ； 在上是增函数； 所以， 故选：C 【答案点睛】 考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题. 7、A 【答案解析】 因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ． 点睛：函数对称性代数表示 （1）函数为奇函数 ，函数为偶函数（定义域关于原点对称）； （2）函数关于点对称，函数关于直线对称， （3）函数周期为T,则 8、A 【答案解析】 先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【题目详解】 先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种. 故选：A 【答案点睛】 本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题. 9、A 【答案解析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【题目详解】 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 10、D 【答案解析】 结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【题目详解】 若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：D 【答案点睛】 本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题. 11、C 【答案解析】 直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值． 【题目详解】 设抛物线的准线为， 直线恒过定点， 如图过A、B分别作于M，于N， 由，则， 点B为AP的中点、连接OB，则， ∴，点B的横坐标为， ∴点B的坐标为，把代入直线， 解得， 故选：C． 【答案点睛】 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 12、C 【答案解析】 原式由正弦定理化简得，由于，可求的值. 【题目详解】 解：由及正弦定理得. 因为，所以代入上式化简得. 由于，所以. 又，故. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程. 【题目详解】 令，，所以，又，所求切线方程为，即. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题. 14、 【答案解析】 不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，根据题意F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a， 求得，再用余弦定理求得：，从而求得，再根据顶点A到面EDF的距离为，得到，然后利用等体积法求解， 【题目详解】 不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4， 平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，如图所示： 由题意得：F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A）， 设棱长为a， ， 顶点D到面ABC的距离为 所以， 由余弦定理得： ， 所以，所以， 又顶点A到面EDF的距离为， 所以， 因为， 所以， 解得， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题， 15、 【答案解析】 化简得，利用周期即可求出答案． 【题目详解】 解：， ∴函数的最小正周期为6， ∴， ， 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题． 16、 【答案解析】 由题意可设，，，由向量的坐标运算，以及恒成立思想可设，的最小值即为点，到直线的距离，求得，可得不大于． 【题目详解】 解：，且， 可设，， ，， 可得， 可得的终点均在直线上， 由于为任意实数，可得时，的最小值即为点到直线的距离， 可得， 对于任意的实数，不等式，可得， 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查向量的模的求法，以及两点的距离的运用，考查直线方程的运用，以及点到直线的距离，考查运算能力，属于中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析 【答案解析】 (Ⅰ)求导得到，，解得答案. (Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递