2023学年高中数学习题课三圆锥曲线与方程北师大版选修2_1.doc

习题课（三） 圆锥曲线与方程 1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝. 2．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　) A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－ C．x2＝y－ D．x2＝2y－2 解析：选A　焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p2＝4q. 设Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝，y＝， 即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)， 即x2＝2y－1. 3．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为(　　) A．± B．±或± C．± D．± 解析：选B　由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±. 4.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　) A.，1 B.，1 C．5,3 D．5,4 解析：选A　∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝. 5.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A. B. C. D. 解析：选D　焦点F1(－，0)，F2(，0)， 在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4， |AF1|2＋|AF2|2＝12， 所以可解得|AF2|－|AF1|＝2， 故a＝，所以双曲线的离心率e＝＝，选D. 6．若过点A(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与椭圆E：＋y2＝1都只有一个交点，且l1⊥l2，则h的值为(　　) A. B. C．2 D. 解析：选A　由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0. 设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－x＋h， 将l1：y＝kx＋h代入＋y2＝1得＋(kx＋h)2＝1， 即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0， 由l1与椭圆E只有一个交点知 Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，即1＋2k2＝h2. 同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1＋＝h2， 得＝k2，即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝. 7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的方程为____________． 解析：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4， 所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2， 所以b＝＝＝4， 则双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 8．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y＝x2上的点到直线AB的最短距离为________． 解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y＝x2上的点P(t，t2)，d＝＝＝≥＝. 答案： 9．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________. 解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)， 因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2， 所以N(0,4)，|FN|＝＝6. 法二：如图，不妨设点M位于第一象限内， 抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P， ∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵点M为FN的中点，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3， 故|FN|＝2|MF|＝6. 答案：6 10．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆C上位于直线x＝2两侧的动点．若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值． 解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)． ∵抛物线x2＝4y的焦点是(0，)， ∴b＝. 由＝，a2＝b2＋c2，得a＝2， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为y＝x＋t， 联立得x2＋2tx＋2t2－4＝0， 则x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4. 在＋＝1中，令x＝2，得P(2,1)，Q(2，－1)． ∴四边形APBQ的面积 S＝S△APQ＋S△BPQ ＝|PQ|·|x2－x1| ＝×2×|x2－x1| ＝|x2－x1| ＝ ＝ ＝. ∴当t＝0时，Smax＝4. ∴四边形APBQ面积的最大值为4. 11．(2023年·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 解：(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2. 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1. (2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)． 设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)， 由消去y，得x2＋4kx－4＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4. 直线OM的方程为y＝x. 令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－. 同理得点B的横坐标xB＝－. 设点D(0，n)， 则＝， ＝， ·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2 ＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2. 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3. 所以以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)． - 6 -