2023年高考试题数学理四川卷解析版2.docx

2023年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 解析：四川省成都市新都一中 肖宏 本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。第一卷1至2页，第二卷3至1 0 页．总分值150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.[来 第一卷 本卷须知： 1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上． 3。本试卷共1 2小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的外表积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一、 选择题： （1）i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝ （A）－1 （B）1 （C） （D） 解析：由复数性质知：i2＝－1 故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1 答案：A （2）以下四个图像所表示的函数，在点处连续的是 （A） （B） （C） （D） 解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.w_w_w.kxs 5xu.c oxm 答案：D （3）2log510＋log50.25＝ （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 解析：2log510＋log50.25 ＝log5100＋log50.25 ＝log525 ＝2 答案：C （4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是 （A） （B） （C） （D） 解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－ 于是－＝1 Þ m＝－2 答案：A （5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，那么 （A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 解析：由＝16，得|BC|＝4 ＝4 而 故2 答案：C w_w_w.kxs 5xu.c oxm （6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A） （B） （C） （D） 解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是. 答案：C y 0 x 70 48 80 70 (15,55) （7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需消耗工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间消耗工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产方案为 （A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 那么w_w w. k#s5_u.c oxm 目标函数z＝280x＋300y 结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大 此题也可以将答案逐项代入检验. 答案：B （8）数列的首项，其前项的和为，且，那么 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 解析：由,且 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 Þ a2＝2a1 故{an}是公比为2的等比数列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1 那么 答案：B （9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，那么椭圆离心率的取值范围是m （A） （B） （C） （D） 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点， 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|＝ |PF|∈[a－c,a＋c] 于是∈[a－c,a＋c] 即ac－c2≤b2≤ac＋c2 ∴ Þ 又e∈(0,1) 故e∈ 答案：D （10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法 ①假设5在十位或十万位，那么1、3有三个位置可排，3＝24个 ②假设5排在百位、千位或万位，那么1、3只有两个位置可排，共3＝12个 算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C （11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为， 是平面内边长为的正三角形，线段、分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 （A） （B） （C） （D） 解析：由，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝ cos∠BAC＝ 连结OM，那么△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD 而AC＝R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC Þ MN＝， 连结OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝ 所以M、N两点间的球面距离是 答案：A （12）设，那么的最小值是 （A）2 （B）4 （C） （D）5 解析： ＝ ＝ ≥0＋2＋2＝4 当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝,b＝,c＝满足条件. 答案：B 第二卷 二、 填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上. （13）的展开式中的第四项是 . 解析：T4＝ 答案：－ （14）直线与圆相交于A、B两点，那么 . 解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2 圆心到直线的距离为d＝ 故 得|AB|＝2 答案：2 （15）如图，二面角的大小是60°，线段.， 与所成的角为30°.那么与平面所成的角的正弦值是 . 解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作lD 连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l， C D 故∠ADC为二面角的平面角，为60° 又由，∠ABD＝30° 连结CB，那么∠ABC为与平面所成的角m 设AD＝2，那么AC＝，CD＝1 AB＝＝4 ∴sin∠ABC＝ 答案： （16）设S为复数集C，都有，那么称S为封闭集。以下命题： ①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；m ②假设S为封闭集，那么一定有； ③封闭集一定是无限集； ④假设S为封闭集，那么满足的任意集合也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 解析：直接验证可知①正确. 当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确 对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误 取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1ÏT，故T不是封闭集，④错误 答案：①② 三、 解答题：本大题共6小题，共74分。解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题总分值12分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶〞或“谢谢购置〞字样，购置一瓶假设其瓶盖内印有“奖励一瓶〞字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购置了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)= P()=P(A)P()P()= 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 （2）ξ的可能值为0,1,2,3 P(ξ=k)=(k=0,1,2,3) 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P Eξ=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分 （18）（本小题总分值12分） 正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点. （Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线； （Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小； （Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等根底知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：（1）连结AC，取AC中点K，那么K为BD的中点，连结OK 因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点 所以AM 所以MO 由AA’⊥AK，得MO⊥AA’ 因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’ 所以AK⊥BD’ 所以MO⊥BD’ 又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线 （2）取BB’中点N，连结MN，那么MN⊥平面BCC’B’ 过点N作NH⊥BC’于H，连结MH 那么由三垂线定理得BC’⊥MH 从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角 MN=1,NH=Bnsin45°= 在Rt△MNH中，tan∠MHN= 故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2 (3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内 点O到平面MA’D’距离h＝ VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h= 解法二： 以点D为坐标原点，建立如下列图空间直角坐标系D-xyz 那么A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1) (1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0, ),O(,,) ,=(0,0,1),=(-1,-1,1) =0, +0=0 所以OM⊥AA’,OM⊥BD’ 又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分 (2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z) =(0,-1,), ＝(－1,0,1) 即 取z＝2,那么x＝2,y＝1，从而=(2,1,2) 取平面BC