2023学年高中数学习题课一常用逻辑用语北师大版选修2_1.doc

习题课（一） 常用逻辑用语 1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：任意x∈A,2x∈B，则(　　) A．綈p：存在x∈A,2x∈B　 B．綈p：存在x∉A,2x∈B C．綈p：存在x∈A,2x∉B D．綈p：任意x∉A,2x∉B 解析：选C　命题p是全称命题：任意x∈M，p(x)，则綈p是特称命题：存在x∈M，綈p(x)．故选C. 2．命题p：若ab＝0，则a＝0；命题q：若a＝0，则ab＝0，则(　　) A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真 解析：选D　由条件易知：命题p为假命题，命题q为真命题，故p假q真．从而“p或q”为真，“p且q”为假． 3．下列命题中，真命题是(　　) A．存在x∈R，ex≤0 B．任意x∈R,2x>x2 C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．a>1，b>1是ab>1的充分条件 解析：选D　∵任意x∈R，ex>0，∴A错；∵函数y＝2x与y＝x2的图像有交点，如点(2,2)，此时2x＝x2，∴B错；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C错；a>1，b>1，由不等式可乘性知ab>1，∴D正确． 4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　先证“α⊥β ⇒a⊥b”．∵α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a；再证“a⊥b⇒/ α⊥β”．举反例，当a∥m时，由b⊥m知a⊥b，此时二面角α­m­β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选A. 5．下列有关命题的说法错误的是(　　) A．命题“若x2－1＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－1≠0” B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件 C．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则k＝1 D．对于命题p：存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则綈p：任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0 解析：选C　A显然正确；当x＝1时，x2－3x＋2＝0成立，但x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，故“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，B正确；若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则k＝0或k＝1，故C错误；D显然正确． 6．已知p：m－1<x<m＋1，q：(x－2)(x－6)<0，且q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是(　　) A．(3,5) B．[3,5] C．(－∞，3)∪(5，＋∞) D．(－∞，3]∪[5，＋∞) 解析：选B　p：m－1<x<m＋1，q：2<x<6.因为q是p的必要不充分条件，所以由p能得到q，而由q得不到p，所以可得或解得3≤m≤5. 7．命题“在△ABC中，如果∠C＝90°，那么c2＝a2＋b2”的逆否命题是__________________________________． 答案：在△ABC中，若c2≠a2＋b2，则∠C≠90° 8．设p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，则綈p是綈q的________条件． 解析：綈p：≤x≤2.綈q：－1≤x≤2. 因为綈p⇒綈q，但綈q⇒/ 綈p. 所以綈p是綈q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 9．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”为真， 则a≤x2，x∈[1,2]恒成立，所以a≤1. 命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”为真， 则“4a2－4(2－a)≥0， 即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1. 若命题“p且q”是真命题， 则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}． 答案：(－∞，－2]∪{1} 10．已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围． 解：p：x2－8x－20＞0⇔x＜－2或x＞10， 令A＝{x|x<－2或x>10}， ∵a＞0，∴q：x＜1－a或x＞1＋a， 令B＝{x|x<1－a或x>1＋a}， 由题意p⇒q且qp，知AB， 应有或 ⇒0＜a≤3， ∴a的取值范围为(0,3]． 11．已知函数f(x)＝ (1)求函数f(x)的最小值； (2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围． 解：(1)作出函数f(x)的图像，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝f(－2)＝1. (2)对于命题p，m2＋2m－2≤1， 故－3≤m≤1； 对于命题q，m2－1>1，故m>或m<－. 由于“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假． ①若p真q假，则 解得－≤m≤1. ②若p假q真，则 解得m<－3或m>. 故实数m的取值范围是 (－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)． - 3 -