2023年苏锡常一模数学有答案3.docx

2023年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查〔一〕 数学Ⅱ〔附加题〕 参考答案 21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结EF． ∵四点共圆, ∴． ………………………………2分 ∵∥， ∴180°． ∴180°． ………………………………6分 ∴四点共圆． ………………………………8分 ∵交于点G， ∴． ………………………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵的特征多项式为 == ， ……………………………2分 令=0，得到矩阵的特征值为1=3，2=． ………………4分 当1=3时，由=3，得，∴，取，得到属于特征值3的一个特征向量= ； ……………………………7分 当2=时，由=，得，取，那么，得到属于特征值的一个特征向量=． ……………………………10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：将代入， 得，即． ………………………………4分 当 x=0时，y=0； 当时， ． ………………………………………6分 从而． ………………………………………8分 ∵原点也满足， ∴曲线C的参数方程为〔为参数〕． ……………………………10分 D．选修4—5：不等式选讲 解:∵, ………………………5分 ∴，当且仅当时取等号, ………………………8分 ∵，∴． ∴的最小值为6,此时．………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． z y x F E C 1 B 1 A 1 C B A 〔第22题图〕 22．解：建立如以下图的空间直角坐标系． 〔1〕设a=1，那么AB=AC=1，3，各点的坐标为,，，． ，．…………2分 ∵,， ∴． ∴向量和所成的角为， ∴异面直线与所成角为．…4分 〔2〕∵，， ∴． 设平面的法向量为， 那么，且． 即，且． 令，那么． ∴=是平面的一个法向量． ………6分 同理，=是平面的一个法向量． ………8分 ∵平面⊥平面， ∴．∴． 解得，． ∴当平面⊥平面时，． ………………………10分 23．解：〔1〕设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球〞为事件A，那么． ∴． …………………………………………………1分 设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球〞为事件B，那么， ∴， ∴或(舍)． ∴红球的个数为(个)． …………………………………3分 ∴随机变量的取值为0，1，2，分布列是 0 1 2 的数学期望． …………6分 〔2〕设袋中有黑球个，那么…〕． 设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球〞为事件C， 那么， …………………………………8分 当时，最大，最大值为．…………………………………10分