2023年高考数学一轮复习第十一章第2节排列与组合高中数学.docx

第十一章 第二节 排列与组合 题组一 排 列 问 题 1.将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C〞或“C、B、A〞(可以不相邻)，这样的排列数有多少种 (　　) A．12 B．20 C．40 D．60 解析：五个字母排成一列，①先从中选三个位置给A、B、C且A、B、C有两种排法，即×2，②然后让D、E排在剩余两个位置上，有种排法；由分步乘法计数原理所求排列数为×2×＝40. 答案：C 2．(2023·桂林模拟)四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，那么由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 (　　) A．6 B．12 C．18 D．24 解析：特殊元素优先处理，先在后三位中选两个位置填两个数字“0〞，有种填法，再决定用“9〞还是“6〞有两种可能，最后排另两个卡片有种排法，所以共可排成·2·＝12个四位数． 答案：B 3．从1,3,5,7中任取2个数字，从2,4,6,8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数的个数有 (　　) A．120个 B．300个 C．240个 D．108个 解析：第一步：把5放到四位数的末位上； 第二步：从1,3,7中任取1个，有种方法； 第三步：从2,4,6,8中任取2个数字，有种方法； 第四步：把选出的3个数字分别放在四位数的千位、百位与十位上，有种方法． 故共有＝108种方法． 答案：D 4．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的奥运宣传广告，1个公益广告．要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，2个奥运宣传广告也不能连续播放，那么不同的播放方法有________种． 解析：分三步：第一步，安排3个商业广告，有种不同的方法；第二步，从奥运宣传广告与公益广告中选择1个安排在最后一个播放，有种不同的方法；第三步，把剩下的两个广告安排到3个商业广告分成的与第二步安排的广告不相邻的3个空位中，有种不同方法，所以共有＝108种方法． 答案：108 题组二 组 合 问 题 5.(2023·全国卷Ⅱ)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，那么甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 (　　) A．6种 B．12种 C．30种 D．36种 解析：从反面考虑：·－＝6×6－6＝30. 答案：C 6．有穷数列{an}(n＝1,2,3，…，6)满足an∈{1,2,3，…，10}，且当i≠j(i，j＝1,2,3，…，6)时，ai≠aj.假设a1>a2>a3，a4<a5<a6，那么符合条件的数列{an}的个数是 (　　) A． B． C． D． 解析：先从10个数中任意选出3个，最大的数为a1，最小的为a3，另一数为a2，这样的选法有种；同理，从剩余的7个数中任选3个，有种选法，由分步计数原理知共有种选法． 答案：A 7．(2023·海南、宁夏高考)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．假设每天安排3人，那么不同的安排方案共有________种(用数字作答)． 解析：法一：先从7人中任取6人，共有种不同的取法．再把6人分成两局部，每局部3人，共有种分法．最后排在周六和周日两天，有种排法， ∴××＝140种． 法二：先从7人中选取3人排在周六，共有种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有种排法，∴共有×＝140种． 答案：140 8．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区效劳，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________． 解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为 ·＋·＝2×4＋1×6＝14. 法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为－＝15－1＝14. 答案：14 题组三 排列与组合的综合应用 9.(2023·西宁模拟)用三种不同的颜色填涂右图3×3方格中的9个区域， 要求每行、每列的三个区域都不同色，那么不同的填涂方法种数共有 (　　) A．48 B．24 C．12 D．6 解析：可将9个区域标号如图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步， 为第一行涂色，有＝6种方法；第二步，用与1号区 域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有＝2种 方法；剩余区域只有一种涂法，综上由分步乘法计数原理可 知共有6×2＝12种涂法． 答案：C 10．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，那么其中数字2,3相邻的偶数有________个(用数字作答)． 解析：个位数字是2或4，假设个位是2，那么十位数字必须是3，共有个； 假设个位是4，那么将2,3作为一个整体，与1,5进行排列，共有2个． 所以总共有＋2＝18个． 答案：18 11．10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止． (1)假设恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，那么这样的不同测试方法数是多少？ (2)假设恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，那么这样的不同测试方法数是多少？ 解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有·＝种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法． 所以共有不同排法··＝103 680种． (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法·(·)＝576种． 12．男运发动6名，女运发动4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在以下情形中各有多少种选派方法？ (1)男运发动3名，女运发动2名； (2)至少有1名女运发动； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运发动． 解：(1)第一步：选3名男运发动，有种选法． 第二步：选2名女运发动，有种选法． 共有·＝120种选法． (2)法一(直接法)：“至少1名女运发动〞包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类加法计数原理可得有 ·＋·＋·＋·＝246种选法． 法二(间接法)：“至少1名女运发动〞的反面为“全是男运发动〞． 从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运发动的选法有种． 所以“至少有1名女运发动〞的选法有－＝246种． (3)法一(直接法)： “只有男队长〞的选法为种； “只有女队长〞的选法为种； “男、女队长都入选〞的选法为种； 所以共有2＋＝196种． 法二(间接法)： 从10人中任选5人，有种选法． 其中不选队长的方法有种． 所以“至少1名队长〞的选法有－＝196种选法． (4)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法．不选女队长时，必选男队长，共 有种选法．其中不含女运发动的选法有种，所以不选女队长时共有－种选 法． 所以既有队长又有女运发动的选法共有 ＋－＝191种．