2023学年河北省涞水县波峰中学高考数学全真模拟密押卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若θ是第二象限角且sinθ =，则= A． B． C． D． 2．若为纯虚数，则z＝（ ） A． B．6i C． D．20 3．已知a，b∈R，，则（ ） A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a 4．设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为( ) A．1 B． C． D． 5．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A．18种 B．20种 C．22种 D．24种 6．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ） A．或 B． C． D． 7．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A． B． C． D． 8．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（　　） A． B． C． D． 9．设是虚数单位，复数（　　） A． B． C． D． 10．已知满足，则（ ） A． B． C． D． 11．已知的面积是,, ,则（ ） A．5 B．或1 C．5或1 D． 12．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____． 14．已知数列满足对任意，，则数列的通项公式__________. 15．设函数 满足,且当时,又函数,则函数在上的零点个数为___________. 16．若满足，则目标函数的最大值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数 （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求证： 18．（12分）设都是正数，且，．求证：． 19．（12分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求． 20．（12分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所． （1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率； （2）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所． （i）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率； （ii）记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数，求随机变量的分布列及数学期望． 21．（12分）已知的内角的对边分别为，且. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由. 22．（10分）已知函数，其中，． （1）当时，求的值； （2）当的最小正周期为时，求在上的值域． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由θ是第二象限角且sinθ =知：，． 所以． 2、C 【答案解析】 根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【题目详解】 ∵为纯虚数， ∴且 得，此时 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的概念与运算，属基础题. 3、C 【答案解析】 两复数相等，实部与虚部对应相等. 【题目详解】 由， 得，即a，b＝1． ∴b＝9a． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查复数的概念，属于基础题. 4、B 【答案解析】 设，通过，再利用向量的加减运算可得，结合条件即可得解. 【题目详解】 设， 则有. 又， 所以，有. 故选B. 【答案点睛】 本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题. 5、B 【答案解析】 分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【题目详解】 根据医院A的情况分两类： 第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同 分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时， 共有种不同分配方案； 第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院， 在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时， 共有种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【答案点睛】 本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题. 6、C 【答案解析】 设公差为，则由题意可得，解得，可得.令 ，可得 当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的. 【题目详解】 解：等差数列中，已知，且，设公差为， 则，解得 ， . 令 ，可得，故当时，，当时，， 故数列前项和中最小的是. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 7、A 【答案解析】 由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【题目详解】 水费开支占总开支的百分比为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 8、B 【答案解析】 分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解. 【题目详解】 集合含有个元素的子集共有，所以． 在集合中： 最大元素为的集合有个； 最大元素为的集合有； 最大元素为的集合有； 最大元素为的集合有； 所以． 故选：． 【答案点睛】 此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解. 9、D 【答案解析】 利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案． 【题目详解】 由题意，复数，故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 10、A 【答案解析】 利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【题目详解】 ，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 11、B 【答案解析】 ∵，, ∴ ①若为钝角，则，由余弦定理得， 解得； ②若为锐角，则，同理得. 故选B. 12、C 【答案解析】 首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【题目详解】 取中点，由，可知：， 为三棱锥外接球球心， 过作平面，交平面于，连接交于，连接，，， ，，，为的中点 由球的性质可知：平面，，且． 设， ，， ，在中，， 即，解得：， 三棱锥的外接球的半径为：， 三棱锥外接球的表面积为． 故选：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、（-4，2） 【答案解析】 试题分析：因为当且仅当时取等号，所以 考点：基本不等式求最值 14、 【答案解析】 利用累加法求得数列的通项公式，由此求得的通项公式. 【题目详解】 由题， 所以 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题. 15、1 【答案解析】 判断函数为偶函数，周期为2，判断为偶函数，计算，，画出函数图像，根据图像到答案. 【题目详解】 知，函数为偶函数，，函数关于对称。 ，故函数为周期为2的周期函数，且。 为偶函数，，， 当时，，，函数先增后减。 当时，，，函数先增后减。 在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有1个公共点， 则函数在上的零点个数为1． 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键. 16、-1 【答案解析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【题目详解】 由约束条件作出可行域如图， 化目标函数为， 由图可得，当直线过点时，直线在轴上的截距最大， 由得即，则有最大值， 故答案为． 【答案点睛】 本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）见解析. 【答案解析】 （1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解； （2）结合（1）可得，令，求导后证明其导函数单调递增，结合，即可得函数的单调区间和最小值，即可得证. 【题目详解】 （1）对任意恒成立等价于对任意恒成立， 令，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 有最大值， . （2）证明：由（1）知，当时，即， ，， 令，则， 令，则， 在上是增函数，又， 当时，；当时，， 在上是减函数，在上是增函数， ，即， ． 【答案点睛】 本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题. 18、证明见解析 【答案解析】 利用比较法进行证明：把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证. 【题目详解】 证明:因为, ， 所以 ， ∴ 成立，又都是正数， ∴，① 同理， ∴． 【答案点睛】 本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。 19、（1）;（2）． 【答案解析】 试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得，利用正弦定理可得，结合，可求，从而可求的值；（2）由三角形的面积可解得，利用余弦定理可得，故可得. 试题解析：（1）∵，，， ∴， ∴， 即 ，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴， 又，即，∴， 故． 20、（1） （2）（i）（ii）分布列见解析， 【答案解析】 （1）先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解； （2）（i