2023学年河南省安阳市林虑中学高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集为，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知是虚数单位，若，，则实数（ ） A．或 B．-1或1 C．1 D． 3．已知函数，则的最小值为( ) A． B． C． D． 4．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 5．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ） A．2 B． C． D．1 6．已知双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且点到该渐近线的距离为，则双曲线的实轴的长为 A． B． C． D． 7．函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 9．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A．23 B．25 C．28 D．29 10．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为( ) A． B． C． D． 11．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米 12．已知，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．过点，且圆心在直线上的圆的半径为__________． 14．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________. 15．已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围为_________. 16．如图，两个同心圆的半径分别为和，为大圆的一条 直径，过点作小圆的切线交大圆于另一点，切点为，点为劣弧上的任一点（不包括 两点），则的最大值是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求面积的最大值． 18．（12分）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B−CG−A的大小. 19．（12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线： 于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线， ， 轴都相切，设的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线， 分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求的值. 20．（12分）在锐角中，分别是角的对边，，，且． （1）求角的大小； （2）求函数的值域． 21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，曲线：（为参数）以原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （Ⅰ）判断点与直线的位置关系并说明理由； （Ⅱ）设直线与曲线的两个交点分别为，，求的值. 22．（10分）如图，在平面四边形中，，，. （1）求； （2）求四边形面积的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式, 再由交集的定义求解即可. 【题目详解】 , ,. 故选:D 【答案点睛】 本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式. 2、B 【答案解析】 由题意得，，然后求解即可 【题目详解】 ∵，∴.又∵，∴，∴. 【答案点睛】 本题考查复数的运算，属于基础题 3、C 【答案解析】 利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值. 【题目详解】 由于 ， 故其最小值为：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 4、C 【答案解析】 建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值. 【题目详解】 以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系， 设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到， 可得到内切圆的半径为 可得到点的坐标为： 故得到 故得到 ， 故最大值为：2. 故答案为C. 【答案点睛】 这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 5、B 【答案解析】 ，选B. 6、B 【答案解析】 双曲线的渐近线方程为，由题可知． 设点，则点到直线的距离为，解得， 所以，解得，所以双曲线的实轴的长为，故选B． 7、B 【答案解析】 由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式. 【题目详解】 解：由图象知，，则， 图中的点应对应正弦曲线中的点， 所以，解得， 故函数表达式为． 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题. 8、B 【答案解析】 由函数的奇偶性可得， 【题目详解】 ∵ 其中为奇函数，也为奇函数 ∴也为奇函数 ∴ 故选：B 【答案点睛】 函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数 9、D 【答案解析】 由可求，再求公差，再求解即可. 【题目详解】 解：是等差数列 ，又， 公差为， ， 故选：D 【答案点睛】 考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 10、B 【答案解析】 由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积． 【题目详解】 由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图， 由于，，∴，∴，， ∴点坐标为，代入抛物线方程得，， ∴，． 故选：B. 【答案点睛】 本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解． 11、B 【答案解析】 由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【题目详解】 因为弧长比较短的情况下分成6等分， 所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为63(厘米). 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 12、D 【答案解析】 利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项． 【题目详解】 已知，赋值法讨论的情况： （1）当时，令，，则，，排除B、C选项； （2）当时，令，，则，排除A选项. 故选：D. 【答案点睛】 比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据弦的垂直平分线经过圆心,结合圆心所在直线方程,即可求得圆心坐标.由两点间距离公式,即可得半径. 【题目详解】 因为圆经过点 则直线的斜率为 所以与直线垂直的方程斜率为 点的中点坐标为 所以由点斜式可得直线垂直平分线的方程为,化简可得 而弦的垂直平分线经过圆心,且圆心在直线上,设圆心 所以圆心满足解得 所以圆心坐标为 则圆的半径为 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了直线垂直时的斜率关系,直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系,圆的半径的求法,属于基础题. 14、 【答案解析】 直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案. 【题目详解】 ，故，当时，， 故，解得. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 15、 【答案解析】 设，设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得,由题意得到，据此求得离心率的取值范围. 【题目详解】 设，直线AB的参数方程为，(为参数) 代入圆， 化简得：， ， ， ， 存在点，使得， ，即， ， ， ， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题. 16、 【答案解析】 以为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，从而可得、，，，然后利用向量数量积的坐标运算可得，再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【题目详解】 以为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴， 建立平面直角坐标系， 则、， 由，且， 所以，所以，即 又平分，所以，则, 设， 则，， 所以， 所以 ，， 所以的最大值是. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C； (2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值. 详解：（1）∵， ， （Ⅱ）取中点，则，在中，， （注：也可将两边平方）即， ，所以，当且仅当时取等号． 此时，其最大值为. 点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果. 18、 (1)见详解；(2) . 【答案解析】 (1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角