2023年学市第学高二上学期期中数学试题（解析版）.docx

2023-2023学年市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版） 2023-2023学年市第一中学高二上学期期中数学试题 一、单项选择题 1．假设直线经过两点，那么直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：设直线的倾斜角为，由两点斜率公式的直线的斜率所以，应选A． 【考点】1、直线的斜率公式；2、直线的倾斜角． 2．如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交 【答案】C 【解析】在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行,当两个平面相交时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行,当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行，故这两个平面有可能相交或平行，所以这两个平面的位置关系是相交或平行，应选C. 3．如图，扇形的圆心角为，半径为1，那么该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的外表积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的外表积公式及圆的外表积公式即可求得． 【详解】 由可得：以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球的半径为1，故半球的外表积为： 故答案为：C 【点睛】 此题主要考查了旋转体的概念，以及球的外表积的计算，其中解答中熟记旋转体的定义，以及球的外表积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题． 4．是两条不同的直线，是三个不同的平面，那么以下命题正确的选项是（ ） A．假设，那么 B．假设，那么 C．假设，且，那么 D．假设，且，那么 【答案】D 【解析】根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出. 【详解】 假设，，那么或与异面或与相交，应选项错误； 假设，，那么与可能相交，应选项错误； 假设直线不相交，那么平面不一定平行，应选项错误； ， 或，又 ，应选项正确. 此题正确选项： 【点睛】 此题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度. 5．如图是一个正方体的平面展开图，那么在正方体中直线AB与CD的位置关系为　　 A．相交 B．平行 C．异面而且垂直 D．异面但不垂直 【答案】D 【解析】解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D 6．圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，那么圆O1与圆O2的位置关系为（　 ） A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 【答案】A 【解析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切. 【详解】 圆的圆心为，半径等于1，圆的圆心为，半径等于4， 它们的圆心距等于，等于半径之和， 两个圆相外切. 应选：A. 【点睛】 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 7．假设实数满足，那么的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】等式变形后得到圆方程，找出圆心与半径，令，得到；求出圆心到直线的距离，即可得出所求式子的范围． 【详解】 令，即，表示一条直线； 又方程可化为，表示圆心为，半径的圆； 由题意直线与圆有公共点， ∴圆心到直线的距离， ∴，即的取值范围为． 应选：B 【点睛】 此题主要考查直线与圆的位置关系，由直线与圆的位置关系求参数，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型. 8．点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，那么r的值为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可。 【详解】 结合题意，绘制图像，可知 当取到最大值的时候，那么也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，应选D。 【点睛】 考查了点到直线距离公式，关键找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，难度偏难。 9．对于直角坐标平面内任意两点，，定义它们之间的一种“新距离〞：．给出以下三个命题： ①假设点在线段上．那么； ②在中，假设，那么； ③在中，． 其中的真命题为（　 ） A．①③ B．①② C．① D．③ 【答案】C 【解析】根据题意，对于①假设点在线段上，设点坐标为，然后代入验证显然成立．对于②在中，假设，那么|是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在中，用坐标表示，然后根据绝对值不等式可得到大于等于．推出不成立，故可得到答案． 【详解】 ①假设点在线段上，设点，那么在之间．在，之间， ∴，故①正确； ②，显然，平方后不能消除，，所以命题不成立，故②不正确； ③在中，由绝对值不等式的性质可得： ，故③不正确． 应选：C． 【点睛】 此题主要考查命题真假的判定，考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求，熟记绝对值不等式的性质即可，属于中档题目． 10．如图，在菱形中，，线段，的中点分别为．现将沿对角线翻折，使二面角的在大小为，那么异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点连接，，设菱形的边长为，可得（或补角）为与所成角．在中，由余弦定理，即可求出结果. 【详解】 取中点连接，，设菱形的边长为， 因为，∴，，那么（或补角）为与所成角． ∴， 在中，，可得， 在中，． 在中，． 在中，． 因此异面直线与所成角的余弦值为. 应选：C 【点睛】 此题主要考查异面直线所成的角，只需在几何体中作出异面直线所成的角，解对应三角形即可，属于常考题型． 二、填空题 11．直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，那么在xoy坐标中四边形ABCD为_ ____，面积为______cm2． 【答案】矩形、 8 【解析】试题分析：根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X′平行，且长度不变， 原来与y轴平行的与y′平行，长度变为原来的一半，且新的坐标轴之间的夹角是45（或135）度。所以四边形ABCD为边长分别为2,4的矩形，其面积为8. 【考点】此题主要考查平面图形的直观图画法。 点评：注意直观图中线段与原图的关系。 12．如下列图为某几何体的三视图，那么该几何体最长棱的长度为_____，体积为______. 【答案】 【解析】先找到三视图对应的几何体原图，再求最长的棱长和体积. 【详解】 由三视图得几何体原图是如下列图的四棱锥P-ABCD, 底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2, 所以最长的棱为PC=, 几何体体积为. 故答案为：(1). (2). 【点睛】 此题主要考查三视图复原几何体和几何体体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 13．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，假设l1⊥l2，那么m＝________.假设l1∥l2，那么m＝________. 【答案】－2 2 【解析】根据韦达定理得到，由两直线垂直斜率之积为可得结果；再根据两直线平行斜率相等，结合可得结果. 【详解】 直线，的斜率，是关于的方程的两根，∴， 假设，那么，得； 假设，那么，∴，得，故答案为和2. 【点睛】 此题主要考查了直线的斜率和直线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，学生的转化能力，是一道根底题. 14．如果平面直角坐标系中的两点关于直线对称，那么直线的方程为______． 【答案】． 【解析】【详解】试题分析：直线斜率为，所以斜率为，设直线方程为， 由直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即． 【考点】直线方程． 15．正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，那么过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______． 【答案】 【解析】取中点，中点，中点，连结、、、、、，推导出平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为，由此能求出过且与平行的平面截正方体所得截面的面积；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出和该截面所成角的正弦值． 【详解】 取中点，中点，中点，连结、、、、、， ∵，，，， ∴平面平面， ∴过且与平行的平面截正方体所得截面为， ∵，，四边形是矩形， ∴过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为： ； 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 那么，取，得， 设和该截面所成角为， 那么， ∴和该截面所成角的正弦值为． 故答案为：；． 【点睛】 此题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，熟记面面平行的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型． 16．实数满足，那么的取值范围是_________. 【答案】[0，] 【解析】构造直线x0，过圆上一点P作直线的垂线PM，那么sin∠POM，求出∠POM的范围即可得到答案． 【详解】 P（x，y）为圆x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，那么P到直线xy＝0的距离PM，又因为圆在直线的上方，那么PMx， ∴sin∠POM， 设圆x2+（y﹣2）2＝1与直线y＝kx相切，那么1，解得k＝±， ∴∠POM的最小值为0°，最大值为60°， ∴0≤sin∠POM， 故答案为：[0，]． 【点睛】 此题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想的应用，注意临界位置的转化，属难题． 17．四面体的四个顶点都在球的球面上，平面，是等边三角形．假设侧面的面积为，那么球的外表积的最小值为______． 【答案】 【解析】取的中点，连结，，作出外接球的球心，设是边长为的等边三角形，可得，记的中心为，作交的中垂线于，为外接球的中心，．（当且仅当时取等号），即可求出外表积最小值． 【详解】 取的中点，连结，， ∵在四面体中，平面， 设是边长为的等边三角形．，即， ∴，是等腰三角形， 记的中心为，作交的中垂线于，为外接球的中心， 那么，， 所以（当且仅当时,取等号）． 四面体外接球的外表积为． 故答案为： 【点睛】 此题考查几何体外接球的相关计算，熟记简单几何体的结构特征，以及球的外表积公式即可，属于常考题型． 三、解答题 18．圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍． （1）求圆台两底面的半径； （2）如图，点为下底面圆周上的点，且，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 上底面半径为，下底面半径为．(2) ． 【解析】（1）设圆台上底面半径为，那么下底面半径为，且．推导出,，从而．由此能求出圆台上底面半径和下底面半径； （2）过点作于点，连接，推导出，面，从而为与平面所成的角，由此即可求出结果. 【详解】 （1）设圆台上底面半径为，那么下底面半径为，将圆台补成如图的圆锥，那么. 在中，，∴． 在中，，∴． ∴，所以． 故圆台上底面半径为，下底面半径为． （2）过点作于点，连接， ∵面，∴，∴面， ∴为与平面所成的角， ∵，，∴，，，， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为． 【点睛】 此题考查圆台两底面的半径、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查运算求解能力，属于常考题型． 19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点． （1）求证：EF∥平面PAB； （2）假设平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC． 【答案】见解析 【解析】试题分析：（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EF∥AB，通过直线与平