2023学年浙江宁波市北仑区高考全国统考预测密卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知锐角满足则（ ） A． B． C． D． 3．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（ ）. A． B． C． D． 4．命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 5．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线. 给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 7．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ） A． B． C． D． 8．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ） A．3 B． C． D． 9．已知数列满足,(),则数列的通项公式( ) A． B． C． D． 10．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 12．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________. 14．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 15．若函数，其中且，则______________． 16．的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 18．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列满足,求数列的前2020项的和． 19．（12分）如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平分. （1）求的值； （2）设是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点，求的值. 20．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切． （1）求圆的方程； （2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数. （1）当时，求函数的值域. （2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 22．（10分）已知函数． （1）求函数的零点； （2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：； （3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由题意可得c=，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′． 在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=， 由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36， 于是 b2=a2﹣c2=36﹣=16， 所以椭圆的方程为． 故选B． 点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 2、C 【答案解析】 利用代入计算即可. 【题目详解】 由已知，，因为锐角，所以，， 即. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3、D 【答案解析】 如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【题目详解】 中，易知， 翻折后, ， ， 设外接圆的半径为， ， ， 如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为， ， 四面体的外接球的表面积为. 故选：D 【答案点睛】 本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解. 4、C 【答案解析】 套用命题的否定形式即可. 【题目详解】 命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”. 故选：C 【答案点睛】 本题考查全称命题的否定，属于基础题. 5、D 【答案解析】 根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项. 【题目详解】 因为是定义在上的增函数，故. 又有意义，故，故，所以. 令，则， 故在上为增函数，所以即， 整理得到. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题. 6、B 【答案解析】 利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④. 【题目详解】 ， 解得（当且仅当时取等号），则②正确； 将和联立，解得， 即圆与曲线C相切于点，，，， 则①和③都错误；由，得④正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 7、C 【答案解析】 设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解. 【题目详解】 设球的半径为R， 根据题意圆柱的表面积为， 解得， 所以该球的体积为 . 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 8、C 【答案解析】 根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案. 【题目详解】 显然直线过抛物线的焦点 如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E 根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC 设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME= 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题. 9、A 【答案解析】 利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可． 【题目详解】 数列满足：，， 可得 以上各式相加可得： ， 故选：． 【答案点睛】 本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力． 10、C 【答案解析】 分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解. 【题目详解】 解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以 =，所以当时，的最小值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 11、D 【答案解析】 由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求. 【题目详解】 因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径. 12、B 【答案解析】 画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案. 【题目详解】 ，画出函数图像，如图所示： 根据图像知：，，故，且. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值. 【题目详解】 由等比数列的性质可得，， 由于与的等差中项为，则，则，， ，，， 因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 14、 【答案解析】 由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根． 15、 【答案解析】 先化简函数的解析式，在求出，从而求得的值. 【题目详解】 由题意，函数 可化简为， 所以， 所以. 故答案为：0. 【答案点睛】 本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 16、 【答案解析】 求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项. 【题目详解】 的展开式的通项为， 令，得，所以，展开式中的常数项为； 令，令，即， 解得，，，因此，展开式中系数最大的项为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力