2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版6.docx

1986年全国高中数学联赛试题 第一试 1．选择题(此题总分值42分，每题7分，每题答对得7分，答错得0分不答得1分) ⑴ 设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( ) A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z} B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ，n∈Z} C．{x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ，n∈Z} D．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z} ⑵ 设x为复数，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么( ) A．M={纯虚数} B．M={实数} C．{实数} M {复数} D．M={复数} ⑶ 设实数a、b、c满足 那么，a的取值范围是( ) A．(－∞，+∞) B．(－∞，1]∪[9，+∞) C．(0，7) D．[1，9] ⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 ⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( ) A．11 B．12 C．21 D．28 ⑹ 边长为a、b、c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，假设 s=++，t=++， 那么s与t的大小关系是 A．s>t B．s=t C．s<t D．不确定 2．填空题(此题总分值28分，每题7分)： 此题共有4个小题，每题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上． ⑴ 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，假设作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，那么这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 ． ⑵ f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程 f(f(f(x)))=x 的解的个数是 ． ⑶设f(x)=，那么和式f()+f()+f()+…+f()的值等于 ； ⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程4－68´2+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 ． 第二试 1．(此题总分值17分)实数列a0，a1，a2，…，满足 ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…) 求证：对于任何自然数n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn 是一次多项式．(此题应增加条件：a0≠a1) 2．(此题总分值17分)锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是 S=(EF+FD+DE）． 式中S是三角形ABC的面积． 3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； ⑵ 对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形． 证明你设计的方法符合上述要求． 1986年全国高中数学联赛解答 第一试 1．选择题(此题总分值42分，每题7分，每题答对得7分，答错得0分不答得1分) ⑴ 设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( ) A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z} B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ，n∈Z} C．{x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ，n∈Z} D．{x|(2n－1)π－θ<x<2nπ+θ，n∈Z} 解：－<θ<0，在(－π，0)内满足sinx<a的角为－π－θ<x<θ，由单位圆易得解为D． ⑵ 设x为复数，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么( ) A．M={纯虚数} B．M={实数} C．{实数} M {复数} D．M={复数} 解：即(z－1)2－(z－1)(－1)=0，Þ(z－1)(z－)=0，Þz=1或z=，总之，z为实数．选B ⑶ 设实数a、b、c满足 那么，a的取值范围是( ) A．(－∞，+∞) B．(－∞，1]∪[9，+∞) C．(0，7) D．[1，9] 解：①×3+②：b2+c2－2bc+3a2－30a+27=0，Þ(b－c)2+3(a－1)(a－9)=0，Þ1≤a≤9．选D． b2+c2+2bc－a2+2a－1=0，(b+c)2=(a－1)2，Þb+c=a－1，或b+c=－a+1． ⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解：取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A． ⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( ) A．11 B．12 C．21 D．28 解：首先，C7经过M中7个点，C6与C7至多2个公共点，故C6中至少另有4个M中的点，C5至少经过M中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点． ⑹ 边长为a、b、c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，假设 s=++，t=++， 那么s与t的大小关系是 A．s>t B．s=t C．s<t D．不确定 解：△=absinC=，由R=1，△=，知abc=1．且三角形不是等边三角形． ∴ ++≥++==++．(等号不成立)．选C． 2．填空题(此题总分值28分，每题7分)： 此题共有4个小题，每题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上． ⑴ 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，假设作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，那么这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 ． 解：易得cosα==，于是椭圆长轴=13，短轴=12．所求和=25． ⑵ f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程 f(f(f(x)))=x 的解的个数是 ． 解：f(f(x))=|1－2|1－2x||= 同样f(f(f(x)))的图象为8条线段，其斜率分别为±8，夹在y=0与y=1，x=0，x=1之内．它们各与线段y=x (0≤x≤1)有1个交点．故此题共计8解． ⑶ 设f(x)=，那么和式f()+f()+f()+…+f()的值等于 ； 解 f(x)+f(1－x)= +=+=1． ⑴ 以x=，，，…，代入⑴式，即得所求和=500． ⑷ 设x、y、z为非负实数，且满足方程4－68´2+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 ； 解：令2=t，那么得，t2－68t+256=0，Þ(t－64)(t－4)=0，Þt=4，t=64． =2Þ5x+9y+4z=4，Þ9(x+y+z)=4+4x+5z≥4，x+y+z≥； 4(x+y+z)=4－x－5y≤4，x+y+z≤1Þx+y+z∈[，1]； =6Þ5x+9y+4z=36，Þ9(x+y+z)=36+4x+5z≥36，Þx+y+z≥4； 4(x+y+z)=36－x－5y≤36，Þx+y+z≤9． 故，所求最大值与最小值的乘积=´9=4． 第二试 1．(此题总分值17分)实数列a0，a1，a2，…，满足 ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…) 求证：对于任何自然数n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn 是一次多项式． (此题应增加条件：a0≠a1) 证明：由，得ai+1－ai=ai－ai－1，Þ故{ai}是等差数列．设ai－ai－1=d≠0．那么ak=a0+kd． 于是P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn = a0C(1-x)n+(a0+d)Cx(1-x)n-1+(a0+2d)Cx2(1-x)n-2+…+(a0+(n－1)d)Cxn-1(1-x)+(a0+nd)Cxn =a0[C(1-x)n+Cx(1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+…+Cxn-1(1-x)+Cxn] +d[Cx(1-x)n-1+2Cx2(1-x)n-2+…+(n－1)Cxn-1(1-x)+nCxn] (由kC=nC) =a0(1－x+x)n+ndx[C(1-x)n-1+Cx(1-x)n-2+…+Cxn-2(1-x)+Cxn－1] =a0+ndx(1－x+x)n－1=a0+ndx=a0+(an－a0)x． 此为一次多项式．证毕． 2．(此题总分值17分)锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是 S=(EF+FD+DE)． 式中S是三角形ABC的面积． 证明 连OA，那么由C、E、F、B四点共圆，得ÐAFE=ÐC，又在⊿OAB中，ÐOAF=(180°-2ÐC)/2=90°-ÐC，∴OA⊥EF． ∴ SOEAF=EF·=·EF， 同理，SOFBD=·DF，SODCE=·DE，故得S=(EF+FD+DE)． 反之，由S=(EF+FD+DE）．得OA⊥EF，OB⊥FD，OC⊥ED，否那么S<(EF+FD+DE）． 过A作⊙O的切线AT，那么∠AFE=∠TAF=∠ACB，ÞB、F、E、D共圆， 同理，A、F、D、C共圆，A、E、D、B共圆．Þ∠AFC=∠ADC，∠AEB=∠ADB． ∴ ∠AFC+∠AEB=∠ADC+∠ADB=180°．但∠BFC=∠BEC，即∠AFC=∠AEB=90°，于是F、E为垂足，同理D为垂足．故证． 3．(此题16分)平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横