2023年高三一轮复习讲座三数列高中数学.docx

2023年高三一轮复习讲座三 ----数 列 主讲教师：王思俭 〔苏州中学〕 二、复习要求 1、 等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质； 2、一般数列的通项及前n项和计算。 三、学习指导 1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法那么就是函数的对应法那么，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。 研究数列，首先研究对应法那么——通项公式：an=f(n)，n∈N+，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式Sn：Sn=a1+a2+…an，由Sn定义，得到数列中的重要公式：。 一般数列的an及Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，求Sn还有以下基此题型：列项相消法，错位相消法。 2、等差数列 〔1〕定义，{an}为等差数列an+1-an=d〔常数〕，n∈N+2an=an-1+an+1〔n≥2，n∈N+〕； 〔2〕通项公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d； 前n项和公式：； 〔3〕性质：an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差； Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数； 假设{an}，{bn}均为等差数列，那么{an±nn},{},{kan+c}〔k，c为常数〕均为等差数列； 当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；当2n=p+q时，2an=ap+aq； 当n为奇数时，S2n-1=(2n-1)an；S奇=a中，S偶=a中。 3、等比数列 （1） 定义：=q〔q为常数，an≠0〕；an2=an-1an+1〔n≥2，n∈N+〕； （2） 通项公式：an=a1qn-1，an=amqn-m; 前n项和公式：； （3） 性质 当m+n=p+q时，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=…，当2n=p+q时，an2=apaq，数列{kan}，{}成等比数列。 4、等差、等比数列的应用 〔1〕根本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为根本量，借助于消元思想及解方程组思想等； 〔2〕灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； 〔3〕假设{an}为等差数列，那么{}为等比数列〔a>0且a≠1〕； 假设{an}为正数等比数列，那么{logaan}为等差数列〔a>0且a≠1〕。 三、典型例题 例1、数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，假设k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn。 解题思路分析： 从寻找新、旧数列的关系着手 设{an}首项为a1，公差为d ∵ a1，a5，a17成等比数列 ∴ a52=a1a17 ∴〔a1+4d〕2=a1(a1+16d) ∴ a1=2d 设等比数列公比为q，那么 对项来说， 在等差数列中： 在等比数列中： ∴ ∴ 注：此题把k1+k2+…+kn看成是数列{kn}的求和问题，着重分析{kn}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法〞。 例2、设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，S7=7，S15=75,Tn为数列{}的前n项和，求Tn。 解题思路分析： 法一：利用根本元素分析法 设{an}首项为a1，公差为d，那么 ∴ ∴ ∴ 此式为n的一次函数 ∴ {}为等差数列 ∴ 法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn ∴ 解之得： ∴ ，下略 注：法二利用了等差数列前n项和的性质 例3、正数数列{an}的前n项和为Sn，且，求： （1） 数列{an}的通项公式； （2） 设，数列{bn}的前n项的和为Bn，求证：Bn. 解题思路分析： （I） 涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1〔n≥2〕消元化归。 ∵ ∴ 4Sn=(an+1)2 ∴ 4Sn-1=(an-1+1)2〔n≥2〕 ∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2 ∴ 4an=an2-an-12+2an-2an-1 整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0 ∵ an>0 ∴ an-an-1=2 ∴ {an}为公差为2的等差数列 在中，令n=1，a1=1 ∴ an=2n-1 〔II〕 ∴ 注：递推是学好数列的重要思想，例此题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，实际上也就是说条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。 例4、等差数列{an}中，前m项的和为77〔m为奇数〕，其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。 分析： 利用前奇数项和和与中项的关系 令m=2n-1，n∈N+ 那么 ∴ ∴ n=4 ∴ m=7 ∴ an=11 ∴ a1+am=2an=22 又a1-am=18 ∴ a1=20，am=2 ∴ d=-3 ∴ an=-3n+23 例5、设{an}是等差数列，，b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an。 解题思路分析： ∵ {an}为等差数列 ∴ {bn}为等比数列 从求解{bn}着手 ∵ b1b3=b22 ∴ b23= ∴ b2= ∴ ∴ 或 ∴ 或 ∵ ∴ ∴ an=2n-3 或 an=-2n+5 注：此题化归为{bn}求解，比拟简单。假设用{an}求解，那么运算量较大。 例6、{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和， （1） 用Sn表示Sn+1； （2） 是否存在自然数c和k，使得成立。 解题思路分析： 〔1〕∵ ∴ 〔2〕〔x〕 ∵ ∴ ∴ 式〔x〕 ① ∵ Sk+1>Sk ∴ 又Sk<4 ∴ 由①得：c=2或c=3 当c=2时 ∵ S1=2 ∴ k=1时，c<Sk不成立，从而式①不成立 ∵ ∴ 由Sk<Sk+1得： ∴ 当k≥2时，，从而式①不成立 当c=3时，S12，S2=3 ∴ 当k=1，2时，C<Sk不成立 ∴ 式①不成立 ∵ ∴ 当k≥3时，，从而式①不成立 综上所述，不存在自然数c，k，使成立 例7、某公司全年的利润为b元，其中一局部作为资金发给n位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩〔工作业绩均不相等〕从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余局部作为公司开展基金。 〔1〕设ak〔1≤k≤n〕为第k位职工所得资金额，试求a2，a3，并用k，n和b表示ak〔不必证明〕； 〔2〕证明：ak<ak+1〔k=1，2，…，n-1〕，并解释此不等式关于分配原那么的实际意义。 解题思路分析： 谈懂题意，理清关系，建立模型 第1位职工的奖金 第2位职工的奖金 第3位职工的奖金 …… 第k位职工的奖金 〔2〕 此奖金分配方案表达了“按劳分配〞或“不吃大锅饭〞等原那么。 例8、试问数列{}的前多少项的和最大，并求这个最大值〔lg2=0.3010〕 解题思路分析： 法一： ∴ {an}为首项为2，公差为的等差数列 ∴ ∵ n∈N+ ∴ n=14时，(Sn)max=14.35 法二：∵ a1=2>0，d= ∴ {an}是递减数列，且Sn必为最大值 设 ∴ ∴ ∴ k=14 ∴ (Sn)max=S14=14.35 同步练习 （一） 选择题 1、a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<logmab<1，那么m取值范围是 A、m>1 B、1<m<8 C、m>8 D、0<m<1或m>8 2、设a>0，b>0，a，x1，x2，b成等差数列，a，y1，y2，b成等比数列，那么x1+x2与y1+y2的大小关系是 A、x1+x2≤y1+y2 B、x1+x2≥y1+y2 C、x1+x2<y1+y2 D、x1+x2>y1+y2 2、 Sn是{an}的前n项和，Sn=Pn〔P∈R，n∈N+〕，那么数列{an} A、 是等比数列 B、当P≠0时是等比数列 C、 当P≠0，P≠1时是等比数列 D、不是等比数列 3、 {an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5等于 A、5 B、10 C、15 D、20 4、 a，b，c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是 A、 0 B、1 C、2 D、1或2 5、 设m∈N+，log2m的整数局部用F(m)表示，那么F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是 A、 8204 B、8192 C、9218 D、8021 7、假设x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0〔a≠b〕的四个根可组成首项为的等差数列，那么a+b的值为 A、 B、 C、 D、 8、 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是 A、1557 B、1473 C、1470 D、1368 9、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最正确方案是使运输车运行 A、 11700m B、14700m C、14500m D、14000m 10、等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d<0，那么使前n项和Sn取最大值的正整数n是 A、4或5 B、5或6 C、6或7 D、8或9 （二） 填空题 11、数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，那么它的前n项和Sn=______。 12、设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项之和为100，后2n项之和为200，那么该等差数列的中间n项的和等于________。 13、设数列{an}，{bn}〔bn>0〕，n∈N+满足〔n∈N+〕，那么{an}为等差数列是{bn}为等比数列的________条件。 14、长方体的三条棱成等比数列，假设体积为216cm3，那么全面积的最小值是______cm2。 15、假设不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，那么(2-logba)(1+logca)=________。 （三） 解答题 16、一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。 17、等比数列{an}的首项为a1>0，公比q>-1〔q≠1〕，设数列{bn}的通项bn=an+1+an+2〔n∈N+〕，数列{an},{bn}的前n项