四川省宜宾第三中学2023学年高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．的展开式中的系数为（ ） A．5 B．10 C．20 D．30 3．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ） A． B． C． D． 11．已知抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为（ ） A．1 B． C．2 D．3 12．复数满足，则复数等于（） A． B． C．2 D．-2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数在点处的切线经过原点，函数的最小值为，则________. 14．已知是函数的极大值点，则的取值范围是____________． 15．在平面五边形中，，，，且.将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______. 16．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为 (t为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小． 18．（12分）在边长为的正方形，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥. （1）判别与平面的位置关系，并给出证明； （2）求多面体的体积. 19．（12分）已知，，函数的最小值为. （1）求证：； （2）若恒成立，求实数的最大值. 20．（12分）如图，在四面体中，. （1）求证:平面平面； （2）若，求四面体的体积. 21．（12分）新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表： 年龄（岁） 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 （1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率； （2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及. 22．（10分）已知椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点， （ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）； （ⅱ）当取最小值时，求点的坐标． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可． 【题目详解】 ，，则，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 2、C 【答案解析】 由知，展开式中项有两项，一项是中的项，另一项是与中含x的项乘积构成. 【题目详解】 由已知，，因为展开式的通项为，所以 展开式中的系数为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题. 3、B 【答案解析】 甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B． 4、B 【答案解析】 解出,分别代入选项中 的值进行验证. 【题目详解】 解：，.当 时,，此时不成立. 当 时,，此时成立，符合题意. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系. 5、A 【答案解析】 试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A． 考点：集合的运算． 6、B 【答案解析】 利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得 【题目详解】 解：因为 ，由等差数列性质，若，则得， ． 为数列的前项和，则． 故选：． 【答案点睛】 本题考查等差数列性质与等差数列前项和. (1)如果为等差数列，若，则 ． (2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如. 7、B 【答案解析】 由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【题目详解】 函数，可得， 时，，单调递增， ∵， 故不等式的解集等价于不等式的解集． ． ∴． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 8、C 【答案解析】 显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解. 【题目详解】 由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得, 故选:C 【答案点睛】 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题. 9、A 【答案解析】 由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解. 【题目详解】 当时，， ∵在上有且仅有5个零点， ∴，∴. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题. 10、D 【答案解析】 由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式. 【题目详解】 由图象可得，函数的最小正周期为，. 将点代入函数的解析式得，得， ，，则，， 因此，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11、B 【答案解析】 设直线的方程为代入抛物线方程，利用韦达定理可得,,由可知所以可得代入化简求得参数,即可求得结果. 【题目详解】 设，（，）.易知直线l的斜率存在且不为0，设为，则直线l的方程为.与抛物线方程联立得，所以，.因为，所以，得，所以，即，，所以. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题. 12、B 【答案解析】 通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【题目详解】 复数满足， ∴， 故选B. 【答案点睛】 本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、0 【答案解析】 求出，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出的值，求，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解. 【题目详解】 ，，， 切线的方程：， 又过原点，所以，， ，. 当时，；当时，. 故函数的最小值，所以. 故答案为:0. 【答案点睛】 本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题.. 14、 【答案解析】 方法一：令，则，，当，时，，单调递减，∴时，，，且，∴在上单调递增，时，，，且，∴在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，∴时，，，所以，这与是函数的极大值点矛盾．综上，． 方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，由知须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得． 15、 【答案解析】 设的中心为，矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，得到直线与的交点为几何体外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【题目详解】 设的中心为，矩形的中心为， 过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线， 则由球的性质可知，直线与的交点为几何体外接球的球心， 取的中点，连接，， 由条件得，，连接， 因为，从而， 连接，则为所得几何体外接球的半径， 在直角中，由，，可得， 即外接球的半径为， 故所得几何体外接球的表面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题. 16、 【答案解析】 利用正弦定理边化角可得，从而可得，进而求解. 【题目详解】 由， 由正弦定理可得， 即， 整理可得， 又因为，所以， 因为， 所以， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）当 时，直线l方程为x＝－1；当 时，直线l方程为 y＝(x＋1)tanα； x2＋y2＝2x （2）或. 【答案解析】 （1）对直线l的倾斜角分类讨论，消去参数即可求出其普通方程；由，即可求出曲线C的直角坐标方程； （2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据条件Δ＝0，即可求解. 【题目详解】 (1)当时，直线l的普通方程为x＝－1； 当时，消去参数得 直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α. 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程． (2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x， 整理得t2－4tcos α＋3＝0. 由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝， 所以cos α＝或cos α＝， 故直线l的倾斜角α为或. 【答