2023年高考数学第1讲数列与函数不等式综合问题选讲上.docx

中国中学网络辅导专家 24小时名师针对性辅导 简单学习网课后练习一 学科： 高考总复习课程-10〔新课标〕高考数学〔理〕第二轮复习 讲次： 第 1 讲 名称： 〔上〕 主讲教师：丁益祥，北京陈经纶中学数学特级教师 北京市海淀区上地东路1号盈创动力大厦E座702 全国24小时免费咨询 4008-110-818 总机：01058858883 高考总复习课程-10〔新课标〕高考数学〔理〕第二轮复习 第一讲 数列与函数、不等式综合问题选讲〔上〕 主讲教师：丁益祥 1、函数f(x)=a·bx的图像过点A(1，)和B(2，). (1)求函数f(x)的解析式； (2)记an=log2f(n)，n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，求S30. 答案：〔1〕f(x)=；〔2〕780 【解析】由题意得ab=且ab2=a=，b=4f(x)=. an=log2f(n)=log2f(n)=log2=2n-5(n∈Nx)，∵an+1-an=2(n∈Nx)，故{an}是公差为2的等差数列，且a1=-3，由Sn=n(a1+an)S30=×30×(-3+2×30-5)=780. 2、函数是一次函数，且成等比数列，设，()，求； 答案： 【解析】设，〔〕由成等比数列得 ，----------------①, 得 ∵ ∴---------------②　　由①②得， ∴ ∴，显然数列是首项公差的等差数列 ∴＝ 3、数列{}的前项和，第项满足，那么〔 〕 A． B． C. D． 答案：B 4、实数列{an}满足a0=a,a为实数,(n∈N)求。 答案： 【解析】原来的解法： , ∴ … 于是对于任意正整数k有 (r=0,1,2,3,4,5,) 2023=6×333+2 ∴ 上述所给出的答案计算量明显较大，感觉机械操作过程颇多，主要是因为没有充分利用函数的思想和方法来解决问题。看如下有两种方法： ㈠ 如果将上面的替换为，替换为得到： = 同理得： 所以得到： 用函数的思想认识时，很显然数列{an}的周期T==6。 ∵ 2023=6×333+2 ∴ ㈡ 其实把递推关系(n∈N)变形 令= 那么=原递推关系为=此式与十分相似，因此可把它认为是原递推关系的原型 ==，，所以我们很快可以判断出数列的周期是6，只要再证明〔由=与 得〕因此得数列的周期是6。 = 。 这样利用函数的方法来解决问题，找到了这个数列最重要的性质即周期性，大大减小了运算量减化了过程，但增加了思维活动，表达根本的数学思想和方法。 5、数列前n项的和为 〔 〕 A． B． C． D． 答案：B 【解析】 6、负数a和正数b，令a1= a，b1=b，且对任意的正整数n，当≥0时,an+1= an， bn+1= ；当<0时,an+1 = ，bn+1 = bn． 〔1〕求bn-an关于n的表达式； 〔2〕是否存在a,b，使得对任意的正整数n都有bn>bn+1？请说明理由； 〔3〕假设对任意的正整数n，都有b2n-1>b2n，且b2n=b2n+1，求bn的表达式． 答案：〔1〕(b－a)()n-1〔2〕不存在〔3〕 【解析】(Ⅰ)当≥0时，bn+1－an+1= -an= ； 当<0, bn+1－an+1 = bn- = ． 故总有bn+1－an+1 = (bn-an), 所以数列｛bn－an｝是首项为b－a，公比为的等比数列． 所以bn－an＝(b－a)()n-1． (Ⅱ) 假设存在a,b，对任意的正整数n都有bn>bn+1，即an= an+1． 所以an = an-1 = … = a1= a，又bn－an= (b－a)()n-1，所以bn = a+ (b－a)()n-1， 又≥0,即a + (b－a)()n≥0, 即2n≤对任意的正整数n恒成立， 又是正数，故n≤log2对任意的正整数n恒成立， 因为log2是常数，故n≤log2不可能对任意正整数n恒成立． 所以不存在a,b，使得对任意的正整数n都有bn>bn+1．　　　　　　　　 (Ⅲ)由b2n-1>b2n，可知a2n -1= a2n，b2n= , 所以b2n= ，即b2n - b2n-1= -( b2n-a2n)= - (b-a) ()2n-1．　　　　　 　 又b2n=b2n+1，故b2n+1-b2n-1= -( b2n-a2n) = (a -b) ()2n-1, ∴b2n-1= (b2n-1 - b2n-3)+ ( b2n-3 -b2n-5)+ … +( b3 -b1) +b1 = (a - b)[ ()2n-3+ ()2n-5+…+ ()1]+b= (a-b)+b= (a - b)[ 1- ()n-1]+b． 当n为奇数时，令n=2m-1,可得bn=b2m-1= (a-b)[ 1- ()m-1]+b= (a-b)[ 1- ()n-1]+b， 当n为偶数时，可得bn=bn+1= (a-b)[ 1- ()n]+b， 故 7、函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间〔1，2……〕上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一局部。 〔1〕求及，的值，并归纳出的表达式; 〔2〕设直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为〔1，2……〕，记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。 答案： 〔1〕 〔2〕，定义域为1，当时取得最小值 【解析】〔I〕由，得 由及，得. 同理，. 归纳得. 〔II〕当时, . 所以是首项为，公比为的等比数列, 所以. 的定义域为1，当时取得最小值. 8、是整数组成的数列，，且点在函数的图像上： 〔1〕求数列的通项公式； 〔2〕假设数列满足，求证： 答案：〔1〕；〔2〕证明略 【解析】〔1〕由得：， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即 〔2〕由〔1〕知 所以： 10、数列 (1)求并求数列的通项公式； (2)设证明：当 答案：〔1〕〔2〕证明略 【解析】 (Ⅰ)因为所以 一般地，当时， ＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①-②得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 那么当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时， 证法二 令，那么 所以当时，.因此当时， 于是当时， 综上所述，当时， 11、二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f¢(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈Nx)均在函数y＝f(x)的图像上.〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式；〔Ⅱ〕设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈Nx都成立的最小正整数m； 答案：〔1〕an＝6n－5〔n∈Nx〕；〔2〕最小正整数m为10. 【解析】〔Ⅰ〕设这二次函数f(x)＝ax2＋bx (a≠0) ，那么 f`(x)＝2ax＋b，由于f`(x)＝6x－2， 得a＝3 ，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.， 又因为点(n，Sn)(n∈Nx)均在函数y＝f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝〔3n2－2n〕－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5， 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5〔n∈Nx〕. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得知bn＝＝＝(－)， 故Tn＝bi＝[(1－)＋(–)＋…＋(－)]＝(1–〕， 因此，要使(1－〕＜〔n∈Nx〕成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 12、数列的首项，，． 〔1〕求的通项公式； 〔2〕证明：对任意的，，； 〔3〕证明：． 答案：〔1〕；〔2〕证明略；〔3〕证明略 【解析】解法一：〔Ⅰ〕，，， 又，是以为首项，为公比的等比数列． ，． 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知， ，原不等式成立． 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，对任意的，有 ． 取， 那么． 原不等式成立． 解法二：〔Ⅰ〕同解法一． 〔Ⅱ〕设， 那么 ， 当时，；当时，， 当时，取得最大值． 原不等式成立． 〔Ⅲ〕同解法一． 13、在数列中，是正整数，且，那么称为“绝对差数列〞。 (1)举出一个前五项均不为0的“绝对差数列〞〔只需写出其前十项〕； (2)假设“绝对差数列〞{an}中，a20=3，a20=0，数列{bn}满足，分别判断当时，数列和的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； (3)证明任意一个“绝对差数列〞总存在无穷多个等于零的项。 答案： (1),〔答案不惟一〕 (2) 的极限不存在， (3)证明略 【解析】〔Ⅰ〕解：,〔答案不惟一〕 〔Ⅱ〕解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限不存在. 当时, ,所以 〔Ⅲ〕证明：根据定义，数列 假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而 当时, ; 当 时, 即的值要么比至少小1，要么比至少小1. 令那么 由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与() 矛盾. 从而必有零项. 假设第一次出现的零项为第项，记，那么自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项. 14、函数. (1)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1(n∈Nx)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点〔n,Sn〕也在y=f′(x)的图象上； (2)求函数f(x)在区间〔a-1,a〕内的极值. 答案： (1)证明略； (2) ①当,此时无极小值； ②当的极小值为,此时无极大值； ③当既无极大值又无极小值. x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 15、 本小题主要考查函数极值、等差数列等根本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.总分值12分. 【解析】 (Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x, 由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也