微积分在经济学中的应用应用数学专业.docx

1 绪论 1.1 研究背景及意义 1.1.1研究背景 17世纪90年代，数学科学第一次被用来解决和经济有关的问题，经济学家威廉配第在《政治算术》中把算术应用在经济学当中，经济学在19世纪之前通常只能应用到数学科学中的初等简单数学，并不能涉及高等数学，而从19世纪以后，函数和变量的概念开始被用于有关经济学问题的解决，20世纪40年代，第三次科技革命爆发，这次科技革命使得数学和经济学联系更加密切，二者相互结合。数学分析的方法开始应用于经济学的研究，将数学作为了研究经济学的一个工具，使经济学的研究方法从定性化变为定量化，在一定程度上，数学和经济学的相互结合促进了经济学的研究走向真正科学的道路。经济分析离不开微积分的应用，在对有关内容进行搜索了解之后，我们会发现现在不管是在国外还是国内，数学在经济学研究方面的应用都十分普遍，在国外更喜欢运用理论技巧，通过平时的学习我们可以了解到对于数学的应用还比较浅薄。就现在而言，无论是在国内还是国外，对微积分在经济学方面的作用的研究都比较粗浅，然而微积分在金融方面的应用却十分广泛。由于经济的迅速发展以及工业水平的不断提高，我们更擅长通过自然科学的运用来处理实际生活中的一些问题。在数学领域，微积分是一项十分重要的理论，它是在自然科学的基础上逐渐发展而来的一门应用数学，并且，微积分应用十分广泛。因此，研究微积分的应用对于数学以及经济等领域都十分重要。 1.1.2 研究意义 在经济学中要应用数学知识有一定的客观条件。“物的交换”是经济学领域研究的主要内容，有量化规律，然而在经济学领域，价格、需求和供给等概念都在量化概念的范围内。当一些比较复杂的食物作为经济学研究的对象时，我们可以通过多变量与微积分有关的知识来进行研究分析；全微分公式和导数等内容是数理经济学中最基本的知识，也是其最基础的分子手段。在研究经济学的有关问题时应用数学知识进行分析，使复杂难懂的经济学和事物等变得非常清楚，更容易理解，人们也不再需要用文字对其中的经济学现象进行解释，数学知识的运用可以使经济学和科学的理论知识的研究成果表达更为明确、清晰，并且能够检验最终得出的结论和假设的前提条件是否一致或者二者之间是否矛盾，从而，可以使研究成果更加准确。 1.2.1 研究内容 现如今，经济学和微积分结合起来，二者相互作用、相互促进，本文从微积分的具体应用出发，对应用微积分如何解决经济学方面的问题做出了分析，从而证明了微积分在经济学领域的重大意义。总体来说，本文的结构可以分为以下三个部分： 一：绪论。结合经济学和微积分的有关历史以及目前国内外微积分在经济学中的应用和研究现状，分析了这篇文章的研究背景以及研究意义，明确了本文的研究内容、进行研究的方法和技术路线。 二：微积分在经济学中的应用分析。通过导数、微分积分以及极限等内容结合具体实例对如何运用微积分来解决经济学方面的问题进行了分析。 三：研究结论和展望。 1.2.2 研究方法 这篇文章主要采用文献研究法以及案例分析法对如何使用微积分解决与经济学有关的问题进行分析。在对国内外的相关文献进行研究和借鉴之后，有了丰富的知识基础，并且对具体实例进行了合理清楚的分析，通过研究最终得出结论使文章结构完整逻辑清楚。 （1）文献研究法 本文主要通过谷歌、知网、百度等有关网站以及查询相关数据库并且研究分析了许多和微积分在经济学中的应用相关的案例以及经济学方面的有关学术论文，并从其他方面收集整理了与之相关的国内外的文献，更加全面、清楚的了解到微积分在经济学中的应用，为应用微积分来解决与经济学有关的问题提供了坚实的理论基础。 （2）定性分析法 对研究对象的本质进行分析。通过归纳和演绎、抽象与概括、分析与综合等方法的运用，模拟化加工获得的有关经济学案例，从而能够取其精华、由表及里明辨其真伪，认清经济学的本质，明确经济学的内部规则。 （3） 定量分析法 定量分析法的应用，可以明确研究对象，以使经济学规律更为科学的被揭示，抓住经济学的本质，理清经济学之间的关系，对事情发展的趋势做以预测，并且运用数据进行定量分析，可以更加直观的让人们了解经济学中的规律。 2 微积分在经济学中的应用 . 1边际分析 在经济函数方面，我们能运用边际分析来描述经济函数的绝对改变量，与此同时，还可以用边际分析解释经济函数中的绝对变化量。经济函数中边际分析所要研究的问题是：某一个经济量的变化能够引起另一个经济量的绝对改变。“平均”和“边际”是边际分析中的两个概念。“平均”指的是由于某个经济量的改变而导致的另一个经济量的变化率，而“边际”则指的是当某个经济量的变化趋近于0时，此经济量和因为这个经济量改变所导致的另一个经济量变化值的比值，即就是用来描述由于某个经济量改变而导致的另一个经济量变化的概念。 边际分析在经济分析中的应用 （1）边际需求与边际供给 需求函数 （公式中Q是产品的需求数量，P是产品的价格）在p点可以进行求导，那么他的边际函数就为，也叫边际需求，的含义在产品价格为的时候所对应的边际需求，它的经济含义是：在价格为 的时候，一旦价格增加 一个单位，那么它相应的需求会降低个单位。 如果供给函数（该函数中Q是提供产品的数量，P是产品的价格）可以进行求导，那么就是他的边际函数，也就是边际供给函数，也叫边际供给，的意思为在产品价格为 p0的时候，所对应的边际供给量。它的经济含义是：在价格为p0的时候，价格每增加一个单位，那么对应的供给量就会上升个单位。 （2）边际成本函数 其总成本函数为 ；平均成本函数为；其边际成本函数为 , 的含义是在产量为 Q0 的时候，它相对应的边际成本的数量，他的经济含义是：在产品的生产数量为 Q0 的情况下，每增加或者降低一个单位的产品，那么它对应的成本就会降低个单位。 （3）边际收益函数 为总收益函数，叫做平均收益函数,其边际收益函数为 ,也可以叫做边际收益，的含义是在产品的销售数量达到 Q0 的时候所对应的边际收益的数量，它的经济含义是：在营销数量为 Q0 的情况下，每上升或者下降一个单位的商品，它的盈利就会上升或者下降 个单位。 （4）边际利润函数 利润函数的公式为 ,其平均利润函数的公式为 ， 是边际利润函数,的含义是在产品数量达到Q0的情况下，他所对应的边际利润的值，它的经济含义是：如果产品数量为 Q0 ，那么每上升或者下降一个单位商品品，它相应的盈利就会上升或者下降 个单位。 例 1 某个企业每个月的生产成本函数如下（其中Q是产量（吨），C为总成本（千元））, 在每吨产品定价为3万元的情况下，问：它每个月生产产品分别为15吨、20吨、25吨时所产生的边际利润。 解：月产量为Q吨的商品总收入函数为， 那么月产量分别为15吨、20吨、25吨时的边际利润分别为 （千元/吨）；（千元/吨）；（千元/吨）。 我们可以从上述数据中看出，如果该企业每月生产15吨产品，那么如果产品每上升1吨，盈利就会上升1万人民币；如果还企业每个月生产产品20万吨，那么每增产1吨，盈利就会停止上升；在每月生产25吨产品的时候，每增加一吨产品，盈利就会降低1万人民币。 在企业的经历区域里，如果企业意在充分发展，他不只需要对边际成本进行分析，还要对边际收益等因素进行研究，并且这些因素的研究最终会把种种影响因素就行量化，然后形成微积分。 . 2弹性分析 对数据进行超级分析在经济函数中主要是为了展现绝对改变量与绝对变化量。可是我们还需要在实际生活中运用超级分析来咱就函数的相对变化量与变化率。我们在经济区域里对上述两个数据进行弹性分析，从而可以对其中一个数据进行调整，从而得到另外一个数据的变化程度。它的作用是研究其中一个因素的改变所造成的另外一个因素的变化，研究另外一个因素对这个因素的变化是否敏感。 我们不只在经济领域中广泛应用弹性分析法，在实际生活中也去普遍的使用，这种方法对多种经济表现都可以进行分析。我们在进行弹性分析中经常会看到‘弧弹性’和‘点弹性’这两个词语。下面我们从三个方面来研究需求价格弹性的意义。 需求函数: 需求弹性η：= 当η>1时，代表着目前市场对该商品的需求量增大，而且需求量会发生很明显的变动，企业在面临这种情况的时候，可以采取合理降价的措施，从而提高市场对本企业该商品的需求，可以为公司带来巨大的效益。 当η＝1时，代表着当前市场对该商品的需求保持在一种相对稳定的状态，商品需求量以及价格基本上是同步变动的。企业在面临这种情况的时候，企业无论是上调价格还是下调价格都不会对企业获得的利益产生太大的影响。 当η<1时，代表着当前市场对该商品的需求逐渐减少，商品价格的变动相比需求量而言更加明显。企业在面临这种情况的时候，可以适当提高价格，即使在一定程度上会降低需求量，但是总体而言，企业的效益会有所提升。 对于需求函数 (或 )，价格呈上升趋势时，商品的需求函数 (或 )为递减函数，与 符号相反，因此特殊定义为需求对价格的弹性函数为。 例 4 设某商品的需求函数为 Q=e ，求(1)需求弹性函数；(2)时的需求弹性。 解： ； ，表明当 P=2 时，价格每有1%的上升时，需求量仅有0.4%的降低，也就是说，价格相比需求量而言，变动幅度更加明显。 ，说明当 P=5 时，价格有1%的上升时，需求量也会相应地有 1%的降低，价格与需求基本上是同步发生变动的。 ，说明当 P=8 时，价格每有1%的上升时，需求量将会有1.6%的降低，也就是说，需求相比价格而言，变动幅度更加明显。 3 最值分析 企业在日常开展经济工作过程当中，通常会面临如下的问题：如何实现材料用量的最小化、如何实现企业各项成本的最小化以及如何追求利益的最大化等。针对以上企业中遇到的经济问题，完全可以转化为数学上的求最值问题，然后再利用数学知识来解答。我们可以假设出一个经济函数，设置两个经济变量，并且写出有关这两个经济变量的函数关系，从而探究处于哪一具体情况的时候，经济函数会取得最值。而在解决经济方面求最值的问题的时候，通常会调用到微积分当中的导数知识。接下来，我们来举例说明。 例:若公司某一产品的边际成本为( 元/台)，固定成本是20元 ,产品的边际收入是,求产量为多少时，利润达到最大？ 解: 令 因为只有一个驻点，并且产品的利润存在最大值。 所以当x=100时，利润达到最大。 4 积分在经济学中的应用 在经济学问题中，如果是通过边际函数求原函数，通常有两种计算方法，一种是不定积分法，另一种是只改变上限的定积分法；而定积分法往往是用于求总函数在具体范围内的变化。 例 5 ：设生产 x 个产品的边际成本为 ，固定成本为 元，每个产品的价格为 5000元。在产销平衡的情况下，利润达到最大时，生产量为多少？并计算出利润最大值。 解:总成本函数为 总收益函数为 总利润 ，，令 ，得 ， 因为 。综上，当利润达到最大时，生产量为200。最大利润为 （元）。 在以上的例子中，我们采用了定积分进行利润最大值的求解，但这不是说利润会一直随着产量的增大而增大，要根据实际情况决定生产量的大小。可见，身为企业的管理者，一定要注重对经济问题进一步定量分析。有效地发挥数学知识在经济领域的作用，利用数学进行分析不仅能够得到更为精准的数据，也能开阔视野，丰富经营者的思路。所以，企业的经营者想要提升自己的能力，就有必要学会利用数学分析解决实际问题，从而为实现决策的科学化打好基础。 6微分方程在经济分析中的应用 微分方程在经济分析中应用非常广泛，尤其是在数量分析、动态经济模型方面起到重要的作用。 例 3 ：设某种商品的需求价格弹性为(t为常数 ),求出该商品的需求函数 . 解：由需求价格弹性的定义 , 得出微分方程 明显可以看出这属于一阶可分离变量微分方程，进一步进行变量分离，得出： 两边同时积分 , 因此 即为该商品的需求函数. 小结 在经济学中会频繁应用到导数，这是由于经济学中