2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案和差倍角的三角函数高中数学.docx

4.2 和、差、倍角的三角函数 一、明确复习目标 1.掌握和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和证明。 二．建构知识网络 1.两角和与差公式 所在的象限由a,b的符号而定) 2.倍角公式 3. 想想这些公式的推导与联系；解题时要会“正用〞，“逆用〞，“变形使用〞,特别是余弦的二倍角公式,要熟练掌握——正用(化单角),逆用(降次)和变形运用〔因式而宜〕. 4．解三角函数问题看两个焦点:一是角的变化,二是函数名称的联系,这是合理选用公式的重要依据. 5.其它公式及变形:；(降次公式) 由此可得半角公式:；； 万能公式:；； 三、双基题目练练手 1.〔2023北京〕对任意的锐角α，β，以下不等关系中正确的选项是 ( ) A．sin(α+β)>sinα+sinβ B. sin(α+β)>cosα+cosβ C.cos(α+β)<sinα＋sinβ D.cos(α+β)<cosα＋cosβ 2.〔2023江苏〕假设，那么= 〔 〕 A． B． C． D． 3.在中，，给出以下四个论断： ① ② ③ ④ 其中正确的选项是 ( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 4.〔2023江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时， 〔 〕 A． B． C． D． 5.(2023江苏)＝　 　 6.〔2023重庆〕，，，那么 。 简答:1-4.DABD; 2.,. 3.… 4.画图知,时最大. 5.原式=,答案：2 6. 利用…答案: 四、经典例题做一做 【例1】求值； 解(1): (2) 【例2】(1)设 (2) 且求 解：(1) 因为所以 所以，， 所以 故 (2) 原式= 又所以为第三象限角，所以 ◆思路方法: 1.三角函数变形着眼于两点：一是寻找角的变换,二是分析函数式的结构与联系，合理利用公式。 2.涉及α+β、α及β的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。 【例3】 α、β、γ∈〔0，〕，sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β－α的值. 解：由，得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ. 平方相加得 〔sinβ－sinα〕2+〔cosα－cosβ〕2=1. ∴－2cos〔β－α〕=－1.∴cos〔β－α〕=. ∴β－α=±. ∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α.∴β－α=. ◆解法点粹：1.求角一般要先求出它的一个三角函数值; 2.解题关键有二:一是消元γ,二是凑差角余弦公式,倒用. 3.注意隐含条件sinγ＞0，否那么产生增根. 【例4】α为第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2α+cos2α的值. 解：由cos+sin=－平方得 1+2sincos=， 即sinα=，cosα=－. 此时kπ+＜＜kπ+. ∵cos+sin=－＜0， sincos=＞0， ∴cos＜0，sin＜0. ∴为第三象限角. ∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z. ∴sin＜cos， 即sin－cos＜0. ∴sin－cos=－=－， sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin2α=. 【研讨.欣赏】〔2023湖南〕在△ABC中，sinA〔sinB＋cosB〕－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小. 解法一 由得 所以即 因为所以，从而 由知 从而由 即 由此得所以 解法二：由 由、，所以即 由得 所以 即 因为，所以 由从而，知B+2C=不合要求. 再由，得 所以 五．提炼总结以为师 1.要熟练推证公式理清公式间的推导线索〔建议自己推证一遍所有公式〕、熟悉公式的正用逆用和变形应用,公式应用讲究一个“活〞字. 2.熟悉角的变换技巧，注意倍角的相对性, 时时注意角的范围的讨论. 3.掌握利用和、差、倍角公式化简、求值和证明三角恒等式方法和技巧。 同步练习 4.2 和、差、倍角的三角函数 【选择题】 1.满足cosαcosβ=+sinαsinβ的一组α、β的值是 ( ) A.α=，β= B.α=，β= C.α=，β= D.α=，β= 2.化简= ( ) (A) (B) (C) 1 (D) 3.〔全国卷Ⅲ〕设,且,那么 ( ) A. B. C. D. 【填空题】 4. (2023陕西)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 5. 〔2023春上海〕假设cosα=，且α∈〔0，〕，那么tan=_______ 6.tan(45°+θ)=3,那么sin2θ-2cos2θ=_______ 简答.提示：1-3. ABC；4. － 5.由得sinα==，tan==. 法二：tan===. 6.由得,sin2θ-2cos2θ== 法二：sin2θ-2cos2θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos()-sin()-1 = 【解答题】 7. =2，求 〔I〕的值； 〔II〕sin2α+sin2α+cos2α的值. 解：〔I〕∵ tan=2, ∴ ; 所以=； 〔II〕sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α－sin2α =2sinαcosα+cos2α == ==1. 8.求。 解:原式= 注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如此题平方差公式。 9. 求证: 证法1:左边= 证法2:右边= 由合比定理得 10.(2023全国Ⅰ)的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值 解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin =－2(sin － )2+ 当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为 【探索题】是否存在锐角α、β,使①α+2β=, ②同时成立假设存在,求出α、β,假设不存在,请说明理由. 解:假设存在,由①得 由②代入上式得, 又② 是方程的两个根,解得 . ∵α、β是锐角, ∴,tanβ=1. ,代入①得.即存在,使①②式同时成立.