四川省成都石室中学2023学年高二数学上学期入学考试试题含解析.doc

四川省成都石室中学2023学年高二数学上学期入学考试试题（含解析） 一、选择题（共12小题；共60分） 1.设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题结合一元二次不等式的解法，考察集合的并集运算。 【详解】可解得集合A，，选B. 【点睛】解决一元二次不等式应注意大前提是二次项系数大于零时才满足：小于取中间，大于取两边。 2.在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 应当做整体处理，可看做，求出，再进行求解。 【详解】，可求出=6，，选D. 【点睛】等比数列的求法主要是解决的问题，整体代换解决是数学中常用的方法，考生应强化指数的相关运算。 3.已知为平面，为直线，下列命题正确的是( ) A. ，若，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】D 【解析】 选项直线有可能在平面内；选项需要直线在平面内才成立；选项两条直线可能异面、平行或相交.选项符合面面平行的判定定理，故正确. 4.与直线的距离等于的直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查平行直线间的距离公式。 【详解】设直线方程为，两平行直线间的距离为，解得c=0或-2。 直线的方程为 或 正确答案选C。 【点睛】平行直线间的距离公式为 5.已知向量，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考察的是向量的数量积公式的坐标运算、同角三角函数的求法、正切角的和角公式。 【详解】= ，，，，,选B. 【点睛】本题不难，但综合性强，三角函数的基本公式能熟练运用，同角三角函数能进行快速转换是本题快速解题的关键。 6.已知数列的通项公式为，则满足的的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考察了数列通项的表示方法、不等式分类讨论的基本思想。 【详解】，，可得 <，<，此时可分三种情况进行讨论： ② 时，， ②时，， ③ 时，， 所以，选B. 【点睛】解题遇到不等式中未知项在分母时，需进行分类讨论，讨论时要做到不重不漏。 7.若正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑。 【详解】解:， , 当且仅当,又,解得时取等号. 所以D选项是正确的. 【点睛】基本不等式解法中应掌握三种最基本类型： ， ， 8.己知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B的对称点，再根据对称性质进行求解。 【详解】分析试题：由题意可知直线和直线关于直线对称。设点关于直线的对称点为，则有，即。因为在直线上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即。 故A正确。 【点睛】解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解。 9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先把三视图转化为几何体，进一步用球体的表面积公式进行求解。 【详解】如图所示， 该几何体的外接球半径为，所以，，外接球的表面积为。选D. 【点睛】三视图还原几何体对部分考生来说难度大，考生应多结合实物加强理解。 10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦定理化边为角，再切化弦，利用和角的公式，化简求解角A. 【详解】根据 ， 由此得到角A为，故选C. 11.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 本题主要考查向量法求异面直线所成角的余弦值 【详解】以垂直于的方向为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 由于，则： ， 即，， 设异面直线与所成角为， 所以异面直线与所成角的余弦值: 故本题正确答案为 【点睛】选择合适的坐标系是解题的关键。 12.2023学年年11月11日是石室中学周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱”的活动.其中一题如下：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.若该数列前项和为，则求满足，且是的倍数条件的整数的个数为（ ） A. 10 B. 12 C. 21 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前项和。将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：，，，，利用等比数列前项和公式，可得答案 【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1， 即：，，，， 根据等比数列前项和公式， 求得每项和分别为：，，，，， 每项含有的项数为：1，2，3，，， 总共的项数为， 所有项数的和为 ， 当时，成立，N=15, 当时，成立, N=55 ,,所以多出的6项符合。 综上所述，，故满足条件的N可表示为，共10个，选A. 【点睛】此题来自于2023年全国新课标Ⅰ卷试题改编，试题本身难度大，考生解决此类问题需要学会对数据分组，合理采用赋值法，也需要不断提升计算能力。 二、填空题（共4小题；共20分） 13.在等差数列中，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 本次考察的是等差数列通项公式的求法。 【详解】， 【点睛】等差数列通项公式除了掌握，考生还应掌握 14.在中，内角，，对边的边长分别为，，，满足等式，则角的大小为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查的是余弦定理。 【详解】，化简得， 【点睛】余弦定理涉及三个数的平方，只要观察到题中出现了之间的平方数，就应该考虑用余弦定理。 15.若,满足约束条件则的最大值 ． 【答案】 【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3. 考点：线性规划解法 16.等差数列的前项和为，，且，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先分析的性质，再由直线方程转化出的表达式，进而求出的前n项和。 【详解】由可得，，为等差数列， ，为等差数列，， 又，，，，，， ，当时，，当时，， =， = 【点睛】构造数列和裂项求和是解决数列问题常用的基本方法，考生应掌握常见的裂项公式。 三、解答题（共6小题；共70分） 17.如图直线过点，且与直线和分别相交于，两点. （1）求过与交点，且与直线垂直的直线方程； （2）若线段恰被点平分，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 本题考查直线方程的基本求法：垂直直线的求法、点关于点对称、点在直线上的待定系数法。 【详解】（1）由题可得交点， 所以所求直线方程为，即； （2）设直线与直线相交于点， 因为线段恰被点平分， 所以直线与直线的交点的坐标为． 将点，的坐标分别代入，的方程， 得方程组 解得 由点和点及两点式，得直线的方程为， 即． 【点睛】直线的考法主要以点的对称和直线的平行与垂直为主。点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于直线的对称，是重点考察内容。 18.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB=14，BD=6，∠ADC=，． （Ⅰ）求sin∠DAC； （Ⅱ）求AD的长和△ABC的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）在中，已知∠ADC=，，要求sin∠DAC，所以将∠DAC用∠ADC和∠C来表示可得∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），进而用诱导公式可得， 再用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（Ⅱ）在△ABD中，知道一个角、两条边，故可用余弦定理求边AD的长。△ACD中，根据条件由正弦定理可求CD边长，进而可求BC边长，根据条件分别求的面积即可得所求。 【详解】解：（Ⅰ）△ACD中，因为∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），∠ADC=， 所以 =； 因为 ，0＜∠C＜π，所以 ； 所以 ； （Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB， 所以 ，所以 AD2+6AD﹣160=0，即 （AD+16）（AD﹣10）=0， 解得AD=10或AD=﹣16（不合题意，舍去）；所以 AD=10； 在中，由正弦定理得，即 ，解得CD=15；所以 ，即． 【点睛】三角形中已知边和角，求其它的边、角，应用正弦定理或余弦定理。⑴已知三边，可用余弦定理求角；⑵已知两边一角，可用余弦定理求第三边；⑶已知两边一对角，可用正弦定理或余弦定理求第三边；⑷已知两角一边，应用正弦定理求边。 19.如图，在三棱柱中，底面，，，，是棱的中点，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得？请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在. 【解析】 【分析】 （1）证线面平行只需证线线平行，并说明所需证明直线在平面内即可。 （2）要证线面垂直可通过面面垂直来进行证明，并说明该垂直直线垂直于两平面交线。 【详解】（1）取中点，连接，则， 又，所以四边形是平行四边形 则，又面，面，所以； （2）因为在侧面中，，，是棱的中点，所以，， 则， 因为平面， 所以， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，且平面平面， 过点作于， 所以平面， 则， 所以在线段上存在点，使得． 【点睛】点线面的位置关系一般可以通过相互推到和转化进行证明。 20.已知函数. （1）求函数的最小正周期及图象的对称轴方程； （2）中，角，，所对的边分别为，，，若，则求函数的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 分析】 通过化简和辅助角公式可得出最简式。 化简得出的表达式，可用整体法转化成二次函数形式进行求值。 【详解】（1）. 所以最小正周期． 由得. 函数图象的对称轴方程为. （2）. 当时，取得最小值；故的值域为． 【点睛】三角函数考生应以基础函数的图像与性质记忆为主，求解过程中常采用换元法，此时应注意换元法中新元的定义域。 21.已知四边形为直角梯形，，，且，，点，分别在线段和上，使四边形为正方形，将四边形沿翻折至使. （1）若线段中点为，求翻折后形成的多面体的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1)多面体一般可通过切割的方式转化成常规几何体进行求解。分析题意可得 (2)求线面角需要先作直线在平面的垂线，找出垂足，进而找出直线在平面的线段投影，再根据几何关系进行求解。 【详解】（1）； （2）易证． 所以直线与平面所成角就是直线与平面的所成角． 过作于点，连接，如图， 由四边形为正方形， 所以，， 所以平面， 所以， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 因为为中点， 所以， 因为， 所以， 因