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2023
全国
数学
理科
高考
答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试
数学〔理科〕
参考答案
考前须知:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答复非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.
1. A 2. A 3. C. 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. C 10.D 11. C 12. D
二、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分.
13.
14. 或或或;
15.
16.
三、解答题:共0分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
〔一〕必考题:共60分.
17.
〔1〕
证明:因为,
所以,
所以,
即,
所以;
〔2〕
解:因为,
由〔1〕得,
由余弦定理可得,
那么,
所以,
故,
所以,
所以的周长为.
18.
〔1〕
因为,E为的中点,所以;
在和中,因为,
所以,所以,又因为E为的中点,所以;
又因为平面,,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
〔2〕
连接,由〔1〕知,平面,因为平面,
所以,所以,
当时,最小,即的面积最小.
因为,所以,
又因为,所以是等边三角形,
因为E为的中点,所以,,
因为,所以,
在中,,所以.
以为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系,
那么,所以,
设平面的一个法向量为,
那么,取,那么,
又因为,所以,
所以,
设与平面所成的角的正弦值为,
所以,
所以与平面所成的角的正弦值为.
19.
〔1〕
样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为,
平均一棵的材积量为
〔2〕
那么
〔3〕
设该林区这种树木的总材积量的估计值为,
又树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,
可得,解之得.
那么该林区这种树木的总材积量估计为
20.
〔1〕
解:设椭圆E的方程为,过,
那么,解得,,
所以椭圆E的方程为:.
〔2〕
,所以,
①假设过点的直线斜率不存在,直线.代入,
可得,,代入AB方程,可得
,由得到.求得HN方程:
,过点.
②假设过点的直线斜率存在,设.
联立得,
可得,,
且
联立可得
可求得此时,
将,代入整理得,
将代入,得
显然成立,
综上,可得直线HN过定点
21.
〔1〕
的定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
〔2〕
设
假设,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
假设,当,那么
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
假设
(1)当,那么,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以
当
当
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减
有
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以假设在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
〔二〕选考题,共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.
〔1〕
因l:,所以,
又因为,所以化简为,
整理得l的直角坐标方程:
〔2〕
联立l与C的方程,即将,代入
中,可得,
所以,
化简为,
要使l与C有公共点,那么有解,
令,那么,令,,
对称轴为,开口向上,
所以,
,
所以
m的取值范围为.
[选修4-5:不等式选讲]
23.
〔1〕
证明:因为,,,那么,,,
所以,
即,所以,当且仅当,即时取等号.
〔2〕
证明:因为,,,
所以,,,
所以,,
当且仅当时取等号.