吉林述余市第一中学2023学年高二数学下学期期末考试试题文含解析.doc

吉林省扶余市第一中学2023学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数不等式求得集合，再由集合的交、并、补运算求解. 【详解】∵集合，， ∴，，，．故选C． 【点睛】本题考查指数不等式和集合的交、并、补运算，属于基础题. 2.命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 根据全称命题与特称命题之间的关系求解. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“，”的否定为“，”． 故选A． 【点睛】本题考查全称命题和特称命题否定，属于基础题. 3.在等比数列中，若，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式求解，注意此题解的唯一性. 【详解】是和的等比中项，则， 解得，由等比数列的符号特征知．选B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属于基础题. 4.在直角坐标系中，若直线：（为参数）过椭圆：（为参数）的左顶点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线和椭圆的参数方程转化为普通方程求解. 【详解】直线的普通方程为，椭圆的普通方程为， 左顶点为．因为直线过椭圆的左顶点，所以，即．选D. 【点睛】本题考查直线和椭圆的参数方程转化为普通方程，属于基础题. 5.在等差数列中，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质求解. 【详解】因为，且， 则，所以．选B. 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 6.下列命题中正确命题的个数是（ ） ①“若，则”的逆否命题为“若，则”； ②“”是“”的必要不充分条件； ③若“”为假命题，则，均为假命题； ④若命题：，，则：，． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由四种命题之间的转化、复合命题的真假判断和充要条件的推导求解. 【详解】①正确； 由解得且，“”是“”的必要不充分条件，故②正确； ③若“”为假命题，则，至少有一个为假命题，故③错误； ④正确．故选C． 【点睛】本题考查四种命题、复合命题和充要条件，属于基础题. 7.将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标，代入已知函数的表示式得解. 【详解】由伸缩变换，得， 代入， 得， 即 ．选B 【点睛】本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题. 8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题， 在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值． 因为，解得，，解得．故选B． 【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 9.已知命题：存在，，若是真命题，那么实数的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据非命题是真命题，得原命题是假命题，从而对实行参变分离，求新函数的最值得解. 【详解】∵是真命题，∴对任意，，∴， 令，函数在上单调递增，∴当时，， ∴．∴实数的取值范围是．故选C． 【点睛】本题的关键在于运用参变分离思想求解恒成立问题，属于中档题. 10.在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆的极坐标方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出圆C的圆心坐标为（2，0），由圆C经过点得到圆C过极点，由此能求出圆C的极坐标方程． 【详解】在中，令，得， 所以圆的圆心坐标为（2，0）. 因为圆经过点， 所以圆的半径， 于是圆过极点， 所以圆的极坐标方程为. 故选：A 【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 11.设为数列的前项和，，，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ， 相减得 由得出 ，= = 故选D 点睛：已知数列的与的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的. 12.对于一个给定的数列，定义：若，称数列为数列的一阶差分数列；若，称数列为数列的二阶差分数列．若数列的二阶差分数列的所有项都等于，且，则（ ） A. 2023 B. 1009 C. 1000 D. 500 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目给出的定义，分析出其数列的特点为等差数列，利用等差数列求解. 【详解】依题意知是公差为的等差数列，设其首项为， 则，即， 利用累加法可得， 由于，即 解得，，故．选C 【点睛】本题考查新定义数列和等差数列，属于难度题. 二、填空题。 13.已知“”是“”的充分不必要条件，且，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 先求解指数不等式，再运用充分不必要条件求解范围. 【详解】，则由题意得，所以能取的最小整数是． 【点睛】本题考查指数不等式和充分不必要条件，属于基础题. 14.已知集合，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为__________． 【答案】 【解析】 因为，，所以或，则图中阴影部分所表示的集合为，应填答案。 15.已知点在直线（为参数）上，点为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】由题得直线方程为， 由题意，点到直线的距离， ∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 16.已知单调递减数列的前项和为，，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据，再写出一个等式：，利用两等式判断并得到等差数列的通项，然后求值. 【详解】当时，，∴． 当时，，① ，② ①②，得， 化简得，或， ∵数列是递减数列，且，∴舍去． ∴数列是等差数列，且，公差， 故． 【点睛】在数列中，其前项和为，则有：，利用此关系，可将与的递推公式转化为关于的等式，从而判断的特点. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.设函数的定义域为集合，集合， （1）若，求； （2）若，求. 【答案】解：（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）把代入二次不等式求集合B，根据函数定义域化简集合A，然后根据交集的运算法则直接运算即可．（2）时求出集合B,化简集合A,再求出A、B的补集，根据集合的交集运算即可． 试题解析：（1），得， ∵，∴， ∴. （2）∵，∴，∴， ∴. 18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），且直线与曲线交于两点，以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2） 已知点的极坐标为，求的值 【答案】(1). (2). 【解析】 分析：(1)曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程，整理得到，由此，根据极坐标与平面直角坐标之间的关系，可以求得曲线C的极坐标方程； (2)将直线的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用直线方程中参数的几何意义，结合韦达定理，求得结果. 详解：（1）的普通方程为， 整理得， 所以曲线极坐标方程为. （2）点的直角坐标为，设，两点对应的参数为，， 将直线的参数方程代入曲线的普通方程中得， 整理得. 所以，且易知，， 由参数的几何意义可知，，， 所以 . 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，在解题的过程中，要认真分析，细心求解. 19.已知，函数，，设：若函数在上的值域为，则，：函数的图象不经过第四象限． （1）若，判断，的真假； （2）若为真，为假，求实数的取值范围． 【答案】(1) 为真．为真．(2) 【解析】 【分析】 (1)根据函数的值域判断命题的真假； (2)根据复合命题的真假判断求解范围. 【详解】解：（1）若，，对应的值域为，∴为真． 若，，当时，，∴为真． （2）∵，∴若为真，则即 若为真，则当时，，即， ∴，又，∴． 因为为真，为假，所以，一真一假． 若真假，则有；若假真，则有． 综上所述，实数取值范围是． 【点睛】本题考查函数的值域和复合命题的真假判断，属于中档题. 20.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为. （1）求圆的参数方程； （2）设为圆上一动点，，若点到直线的距离为，求的大小. 【答案】（1）（为参数）；（2）或 【解析】 分析：（1）首先由公式化极坐标方程为直角坐标方程，再利用公式可化直角坐标方程为参数方程，为此可配方后再换元； （2）把直线参数方程化为普通方程，再由点到直线距离公式求出参数，注意到，根据A点位置，结合图形可利用圆的参数方程中参数的几何意义可得结论. 详解：（1）∵，∴，∴， 即，∴圆的参数方程为（为参数）. （2）由（1）可设，， 的直角坐标方程为， 则到直线的距离为 ， ∴，∵，∴或， 故或. 点睛：（1）由公式可进行极坐标方程与直角坐标方程进行互化； （2）一般用消参数法可化参数方程为普通方程，直线的参数方程可用代入法消参，圆或圆锥曲线的参数方程是利用消参. 21.已知等比数列的公比，前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】(1) ．(2) 【解析】 【分析】 （1）根据条件列出等式，求解公比后即可求解出通项公式；（2）错位相减法求和，注意对于“错位”的理解. 详解】解：（1）由，得，则 ∴， ∴数列的通项公式为． （2）由， ∴，① ，② ①②，得 ， ∴． 【点睛】本题考查等比数列通项和求和，难度较易.对于等差乘以等比的形式的数列，求和注意选用错位相减法. 22.已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，，其前项和为，求的取值范围. 【答案】(1) ．(2) 【解析】 【分析】 （1）根据已知的等式，再写一个关于等式，利用求通项公式；（2）利用裂项相消法求解，再根据单调性以及求解的取值范围. 【详解】解：（1）当时，，， 两式相减得 整理得，即，又， ， ， 则，