四川省成都市金牛区外国语学校2023学年高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ） A．或 B． C． D． 2．已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 3．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A． B． C． D． 4．已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．若复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 7．由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1>0”是“S9>S8”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（ ）． A． B． C． D． 9．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A． B． C． D． 10．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A． B． C． D． 11．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ） A． B． C． D． 12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知实数满足则的最大值为________. 14．将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法. 15．若函数，则的值为______. 16．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知，，函数的最小值为. （1）求证：； （2）若恒成立，求实数的最大值. 18．（12分）表示，中的最大值，如，己知函数，. （1）设，求函数在上的零点个数； （2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 19．（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图. （1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率； （2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为，选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率， （3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 20．（12分）已知函数. （1）若是函数的极值点，求的单调区间； （2）当时，证明： 21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）求的极坐标方程和的直角坐标方程； （Ⅱ）设分别交于两点（与原点不重合），求的最小值. 22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是. （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段的长. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设公差为，则由题意可得，解得，可得.令 ，可得 当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的. 【题目详解】 解：等差数列中，已知，且，设公差为， 则，解得 ， . 令 ，可得，故当时，，当时，， 故数列前项和中最小的是. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 2、D 【答案解析】 根据向量垂直则数量积为零，结合以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【题目详解】 依题意，得，即. 将代入可得，， 解得（舍去）. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题. 3、B 【答案解析】 根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知： 分别从3名男生、3名女生中选2人 ： 将选中2名女生平均分为两组： 将选中2名男生平均分为两组： 则选出的人分成两队混合双打的总数为： 和分在一组的数目为 所以所求的概率为 故选：B 【答案点睛】 本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题. 4、B 【答案解析】 利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值. 【题目详解】 由等差数列的性质可得， . 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 5、B 【答案解析】 构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果. 【题目详解】 构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难. 6、B 【答案解析】 根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出. 【题目详解】 , , 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 7、C 【答案解析】 根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题目详解】 解：若{an}是等比数列，则， 若，则，即成立， 若成立，则，即， 故“”是“”的充要条件， 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键. 8、A 【答案解析】 直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【题目详解】 由题意可知直线的方程为,不妨设. 则，且 将代入双曲线方程中，得到 设 则 由，可得，故 则，解得 则 所以双曲线离心率 故选：A 【答案点睛】 此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目. 9、B 【答案解析】 将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可. 【题目详解】 设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为, 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型. 10、D 【答案解析】 因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得， 所以二项式中奇数项的二项式系数和为． 考点：二项式系数，二项式系数和． 11、B 【答案解析】 可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解 【题目详解】 设，则. 由题意有，所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 12、B 【答案解析】 由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积． 【题目详解】 由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示： 则该四棱锥的体积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 直接利用柯西不等式得到答案. 【题目详解】 根据柯西不等式：，故， 当，即，时等号成立. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案. 14、 【答案解析】 讨论装球盒子的个数，计算得到答案. 【题目详解】 当四个盒子有球时：种； 当三个盒子有球时：种； 当两个盒子有球时：种. 故共有种， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力. 15、 【答案解析】 根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案． 【题目详解】 根据题意，函数， 则， 则； 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力． 16、 【答案解析】 由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果. 【题目详解】 设所给半球的半径为，则四棱锥的高， 则，由四棱锥的体积， 半球的体积为：. 【方法点睛】 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2）最大值为. 【答案解析】 （1）将函数表示为分段函数，利用函数的单调性求出