吉林省通榆县第一中学2023学年高二数学上学期期中试题理.doc

吉林省通榆县第一中学2023学年高二上学期期中考试 数学试卷(理) 第I卷(选择题共60分) 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 命题“若x≥1，则2x+1≥3”的逆否命题为（　　） A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 2. 已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（     ） A. B. C. D. 4. 下列命题中真命题的个数是（　　） ①∀x∈R，x4＞x2； ②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题； ③命题“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3-x2+1＞0”． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（　　） A. B. C. D. 6. 已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围为　 　 A. B. C. D. 7. 如图,已知长方体中,,,则直线和平面所成角的正弦值等于   A. B. C. D. 8. 如图，三棱锥S-ABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC，则二面角A-BC-S大小的正切值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 9. 长方体中,点E、F、G分别为、AB、的中点,则异面直线与GF所成角的余弦值为(    ) A. B. C. 1 D. 0 10. 过抛物线y2=4x的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则=（　　） A. 2 B. 1 C. D. 11. 如图,是双曲线与椭圆的公共焦点,点A是,在第一象限内的公共点,若,则的离心率是(    ) A. B. C. D. 12. 当双曲线M：-=1（-2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（　　 ） A. B. C. D. 第II卷(非选择题共90分) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若“x2+2x-3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为______ ． 14. 双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为______ ． 15. 若正四棱柱的底面边长为2，与底面成60°角，则到底面的距离为_______。 16. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，斜率为的直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|=______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. (10分)如图在正方体AC1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,,．    (1)求证：D、B、F、E四点共面；    (2)确定出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.    (3)求异面直线A1C1和BF所成角的余弦值． 18. (12分)如图，三棱柱中，各棱长均为且平面，、分别是 的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 19. (12分)已知双曲线的标准方程为，椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之和为. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的焦点为，若点在椭圆上，且，试求的面积. 20. (12分)已知椭圆的左焦点为,且椭圆上的点到点F的距离最小值为1． 求椭圆的方程； 已知经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且,求直线l的方程． 21. (12分)如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4． （Ⅰ）求证：BD⊥PC； （Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值． 22. (12分)已知椭圆C：的离心率为,椭圆C的长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l：与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由． 参考答案 1.B 2.D 3.C 4.B 5. B 6. C 7. C 8. C 9.D 10.B 11.C 12.C 13.答案-3 解：∵x2+2x-3＞0 ∴x＜-3或x＞1， ∵“x2+2x-3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件， ∴（-∞，a）（-∞，-3）∪（1，+∞）， ∴a≤-3， 故答案为-3. 14.答案6 解：根据题意，双曲线的标准方程为：， 则其焦点在x轴上，且a=，b=， 故其渐近线方程为y=±x， 又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x， 则有=1，解可得m=6； 故答案为6． 15.答案 解：∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1， ​∵A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴A1C1∥平面ABCD， ​∴A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高， ∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，AB1与底面ABCD成60°角， ∴B1B=， 故答案为. 16.答案 解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y=（x-1），代入y2=4x并化简得3x2-10x+3=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2= x1x2=1， |AB|=|x1-x2|=2=． 故答案为：． 17.解：（1）证明：连接，易有平行且等于，则四边形是平行四边形, 则有,又E、F分别为D1C1、B1C1的中点,  则，即有, 故D，B，F，E共面;  （2）在正方体AC1中，连接PQ，  平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ,则 , 又A1C∩平面BDEF=R，  ∴R∈A1C，  ∴R∈平面A1C1CA，  R∈平面BDEF,  ∴R是A1C与PQ的交点,如图; （3）取A1B1的中点M，连BM、FM，因为FM∥A1C1，所以∠MFB为两异面直线所成的角, 设正方体棱长为a，则BM=BF=，， 所以cos∠MFB=. 故异面直线A1C1和BF所成角的余弦值为 18.（1）证明：因为且为的中点，所以， 又在正三棱柱中，因为平面BCC1B1⊥平面ABC，平面ABC， 且平面BCC1B1∩平面ABC=BC， 所以AM⊥平面BCC1B1， 因为平面BCC1B1，所以， 因为，分别为，的中点，所以， 又因为，， 所以， 所以，， 所以， 所以， 又因为平面AMB1，平面AMB1，， 所以BN⊥平面AMB1. （2）解:设，由（1）可知BO⊥平面AMB1， 所以为斜线在平面 内的射影， 所以为与平面所成的角， 由题可知， 所以为等腰三角形， 作于， 则为的中点，所以， 由等面积法可知， 在中，， 所以， 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 19.解：（1）由题意设椭圆的方程为（a＞b＞0）． ∵双曲线的焦点为（0，±4），离心率为e=2， ∴椭圆的焦点 （0，±4），离心率e′=． ∴a=5．∴b2=a2-c2=9， ∴椭圆的方程为, （2）设，则， ，即， 20.解：（1）由题意可得c=1， 椭圆上的点到点F的距离最小值为1，即为a-c=1， 解得a=2，b==， 即有椭圆方程为+=1； （2）当直线的斜率不存在时，可得方程为x=-1， 代入椭圆方程，解得y=±，则|AB|=3不成立； 设直线AB的方程为y=k（x+1）， 代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 即有x1+x2=-，x1x2=， 则|AB|=• =•=， 即为=，解得k=±1， 则直线l的方程为y=±（x+1）． 21.证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4）， ∴，， ∴ 所以PC⊥BD． （Ⅱ）由（1）知PC⊥BD，且PA⊥平面ABCD，显然, ​易证为面PAC的法向量， 设面PBC的法向量=（a，b，c）， 所以⇒ 所以面PBC的法向量=（6，4，1）， ∴cosθ=-． 因为面PAC和面PBC所成的角为锐角， 所以二面角B-PC-A的余弦值为​． 22.解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得， 解得，所以b2=a2-c2=4-3=1， 故椭圆C的方程为． （2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 理由如下： 设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线l的方程代入， 并整理，得．（*） 则，． 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O， 所以，即x1x2+y1y2=0， 又 ， 于是，解得， 经检验知：此时（*）式的＞0，符合题意． 所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．