吉林省永吉县实验高级中学2023学年高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A． B．4 C． D． 3．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（ ） A． B． C． D． 6．函数在的图象大致为 A． B． C． D． 7．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ） A．2阶区间 B．3阶区间 C．4阶区间 D．5阶区间 10．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ） A． B． C． D． 11．已知函数，若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 12．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　 A．关于直线对称 B．关于点对称 C．周期为 D．在上是增函数 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______． 14．已知集合，，则________. 15．已知△的三个内角为，，，且，，成等差数列， 则的最小值为__________，最大值为___________. 16．已知全集，集合则_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设函数，． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）时，若，，求证：． 18．（12分）如图，在中，已知，，，为线段的中点，是由绕直线旋转而成，记二面角的大小为. （1）当平面平面时，求的值； （2）当时，求二面角的余弦值. 19．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值. 20．（12分）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 21．（12分）选修4-5：不等式选讲 设函数． （1） 证明:； （2）若不等式的解集非空，求的取值范围． 22．（10分）如图，在中，角的对边分别为，且满足，线段的中点为. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）已知，求的大小. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【题目详解】 的定义域为，， 当时，，故在单调递减； 不妨设，而，知在单调递减， 从而对任意、，恒有， 即， ，， 令，则，原不等式等价于在单调递减，即， 从而，因为， 所以实数a的取值范围是 故选：D. 【答案点睛】 此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目. 2、A 【答案解析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果. 【题目详解】 程序运行过程如下： ，；，；，； ，；，； ，；，，退出循环，输出结果为， 故选：A. 【答案点睛】 该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 3、C 【答案解析】 在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值. 【题目详解】 ∵直线是曲线的一条对称轴. ，又. . ∴平移后曲线为. 曲线的一个对称中心为. . ，注意到 故的最小值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 4、C 【答案解析】 由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可. 【题目详解】 当时，则，， 所以，，显然当时， ，故，，若对于任意正整数不等式 恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任 意正整数恒成立，设，，令，解得， 令，解得，考虑到，故有当时，单调递增， 当时，有单调递减，故数列的最大值为， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题. 5、A 【答案解析】 由复数的除法求出，然后计算． 【题目详解】 ， ∴． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键． 6、A 【答案解析】 因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A． 7、D 【答案解析】 将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解. 【题目详解】 由图知与有个公共点即可， 即，当设切点， 则， . 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题. 8、D 【答案解析】 设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【题目详解】 显然直线不满足条件，故可设直线：， ，，由，得， ， 解得或， ，， ， ， ， 解得， 直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 【答案点睛】 本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 9、D 【答案解析】 可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解 【题目详解】 当且时，.令得.可得和的变化情况如下表： 令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间. 故选：D 【答案点睛】 本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题 10、D 【答案解析】 由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D． 11、B 【答案解析】 由函数的奇偶性可得， 【题目详解】 ∵ 其中为奇函数，也为奇函数 ∴也为奇函数 ∴ 故选：B 【答案点睛】 函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数 12、D 【答案解析】 当时,,∴f(x)不关于直线对称； 当时, ,∴f(x)关于点对称； f(x)得周期， 当时, ,∴f(x)在上是增函数． 本题选择D选项. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设圆柱的轴截面的边长为x，可求得，代入圆柱的表面积公式，即得解 【题目详解】 设圆柱的轴截面的边长为x， 则由，得， ∴． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题. 14、 【答案解析】 利用交集定义直接求解． 【题目详解】 解：集合奇数， 偶数， ． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 15、 【答案解析】 根据正弦定理可得，利用余弦定理以及均值不等式，可得角的范围，然后构造函数，利用导数，研究函数性质，可得结果. 【题目详解】 由，，成等差数列 所以 所以 又 化简可得 当且仅当时，取等号 又，所以 令， 则 当，即时， 当，即时， 则在递增，在递减 所以 由， 所以 所以的最小值为 最大值为 故答案为：， 【答案点睛】 本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题. 16、 【答案解析】 根据补集的定义求解即可. 【题目详解】 解： ． 故答案为． 【答案点睛】 本题主要考查了补集的运算,属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【答案解析】 （1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可； （2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明. 【题目详解】 （1），令， 则，令得， 当时，则在单调递减， 当时，则在单调递增， 所以， 当时，，即，则在上单调递增， 当时，， 易知当时，， 当时，， 由零点存在性定理知，，不妨设，使得， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以在和上单调递增，在单调递减； （2）证明：构造函数，， ，， 整理得， ， （当时等号成立）， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，， 这里不妨设，欲证， 即证由（1）知时，在上单调递增， 则需证， 由已知有， 只需证， 即证， 由在上单调递增，且时， 有， 故成立，从而得证. 【答案点睛】 本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题. 18、 (1) ;(2). 【答案解析】 (1)平面平面,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角. 【题目详解】 (1) 如图，以为原点，在平面内垂直于的直线为轴所在的直线分别为轴,轴，建立空间直角坐标系，则 ，设为平面的一个法向量,由得 ,取,则 因为平面的一个法向量为由平面平面，得所以即. (2) 设二面角的大小为，当平面的一个法向量为, 综上