吉林省长春市吉林实验中学2023学年高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ） A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 4．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 5．已知a，b∈R，，则（ ） A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a 6．若点是角的终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（ ） A．10 B．32 C．40 D．80 9．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 10．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ） A． B． C． D． 11．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 12．函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－) C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布，且，若该市有人参考，则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为_____． 14．已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是__． 15．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________． 16．已知，，则与的夹角为 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点. （1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程； （2）求的值. 18．（12分）如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为. （1）求证：平面平面BDE； （2）求二面角B-EF-D的余弦值. 19．（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示. （1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率； （2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望； （3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率. 20．（12分）已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值. 21．（12分）已知函数. （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，，求的取值范围. 22．（10分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点. （1）证明:点在轴的右侧; （2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据分段函数，分当，，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究. 【题目详解】 当时，，令，在是增函数，时，有一个零点， 当时，，令 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 因为在上有3个零点， 所以当时，有2个零点， 如图所示： 所以实数的取值范围为 综上可得实数的取值范围为， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 2、B 【答案解析】 根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【题目详解】 由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为， 所以，， 又以为直径的圆经过点，则，即，解得，， 所以，，即，即， 所以，双曲线的离心率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出与的关系，属于基础题. 3、B 【答案解析】 将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数. 【题目详解】 当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 4、A 【答案解析】 设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方程. 【题目详解】 设，，其中， ，即 关于轴对称 故选： 【答案点睛】 本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程. 5、C 【答案解析】 两复数相等，实部与虚部对应相等. 【题目详解】 由， 得，即a，b＝1． ∴b＝9a． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查复数的概念，属于基础题. 6、A 【答案解析】 根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，点是角的终边上一点， 根据三角函数的定义，可得， 则，故选A. 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7、A 【答案解析】 分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【题目详解】 作出和，的图像如下所示： 函数有三个零点， 等价于与有三个交点， 又因为，且由图可知， 当时与有两个交点， 故只需当时，与有一个交点即可. 若当时， 时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|有一个交点𝐵，故满足题意； 时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|没有交点，故不满足题意； 时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|也没有交点，故不满足题意； 时，显然与有一个交点，故满足题意. 综上所述，要满足题意，只需. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题. 8、D 【答案解析】 根据二项式定理通项公式可得常数项，然后二项式系数和，可得，最后依据，可得结果. 【题目详解】 由题可知： 当时，常数项为 又展开式的二项式系数和为 由 所以 当时， 所以项系数为 故选：D 【答案点睛】 本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题. 9、D 【答案解析】 推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果. 【题目详解】 ， 则， ， ，所以，函数的图象关于直线对称. 若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，，即，解得或. ①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示： 此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意； ②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点. 综上所述，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10、A 【答案解析】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值. 【题目详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，，，. 因此，随机变量的数学期望为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题. 11、A 【答案解析】 首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【题目详解】 由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形， 设中点为，连接，，可知，， 同时易知，， 所以面，故即为与面所成角， 有， 故. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题. 12、D 【答案解析】 由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到 ，由此求得满足条件的的值，即可求得答案. 【题目详解】 分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案. 详解：因为函数的最小正周期是， 所以，解得，所以， 将该函数的图像向右平移个单位后， 得到图像所对应的函数解析式为， 由此函数图像关于直线对称，得： ，即， 取，得，满足， 所以函数的解析式为，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、. 【答案解析】 根据正态分布密度曲线性质，结合求得，即可得解. 【题目详解】 根据正态分布，且， 所以 故该市有人参考，则