吉林省汪清六中2023学年高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A． B． C． D． 2．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，则元素个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则等于( ) A． B． C． D． 7．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( ) A． B．2 C． D． 8．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 9．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D．1 10．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( ) A． B． C． D． 11．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（　　） A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省． B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长． C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知集合，，则__________． 14．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______. 15．命题“对任意，”的否定是 ． 16．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有，，，（e是自然对数的底数）. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 18．（12分）某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元. 年龄 （单位：岁） 保费 （单位：元） （1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值； （2）经调查，年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 19．（12分）已知动圆E与圆外切，并与直线相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得，求直线l的斜率k的取值范围. 20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）设点，若直线与曲线相交于、两点，求的值 21．（12分）如图所示，在三棱锥中，，，，点为中点． （1）求证：平面平面； （2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 22．（10分）如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且. (I)求证：为直角三角形； (II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：设球半径为，则，解得. 故求体积为：，圆锥的体积：，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 2、B 【答案解析】 连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【题目详解】 解：连接、， ，是半圆弧的两个三等分点， ，且， 所以四边形为棱形， ． 故选：B 【答案点睛】 本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题. 3、B 【答案解析】 作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【题目详解】 由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 4、D 【答案解析】 根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案. 【题目详解】 为奇函数，即，函数关于中心对称，排除. ，排除. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键. 5、A 【答案解析】 由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解. 【题目详解】 当时，， ∵在上有且仅有5个零点， ∴，∴. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题. 6、B 【答案解析】 解不等式确定集合，然后由补集、并集定义求解． 【题目详解】 由题意或， ∴， ． 故选：B. 【答案点睛】 本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型． 7、B 【答案解析】 由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出. 【题目详解】 由题意，直角梯形中，，，，， 可求得，所以· ∵点在线段上， 设 ， 则 ， 即， 又因为 所以， 所以， 当时，等号成立. 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力. 8、A 【答案解析】 由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【题目详解】 由三视图还原原几何体如图， 该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 9、B 【答案解析】 先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【题目详解】 解：当 时，，则;当时， 则.设 为函数图像上的两点， 当 或时，，不符合题意，故. 则在 处的切线方程为； 在 处的切线方程为.由两切线重合可知 ，整理得.不妨设 则 ，由 可得 则当时， 的最大值为. 则在 上单调递减，则. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算. 10、A 【答案解析】 由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算． 【题目详解】 由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2， 底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图： 的外接圆的圆心为斜边的中点，，且平面， ， 的中点为外接球的球心， 半径， 外接球表面积． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键． 11、C 【答案解析】 根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案. 【题目详解】 若，根据线面平行的性质定理，可得； 若，根据线面平行的判定定理，可得. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题. 12、C 【答案解析】 利用图表中的数据进行分析即可求解. 【题目详解】 对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确； 对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确； 对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误； 对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 解一元二次不等式化简集合，再进行集合的交运算，即可得到答案. 【题目详解】 ，， . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14、； 【答案解析】 求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可． 【题目详解】 由，得，， ，， ∵， ∴ ，解得． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上．由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题． 15、存在，使得 【答案解析】 试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意，”的否定是“存在，使得”． 考点：命题的否定． 1