2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案数列的前n项和高中数学.docx

3．5 数列的前n项和 ——求和是数列中的重要题型,要能熟练掌握一些常用方法 一、明确复习目标 1.熟练掌握等差等比数列的求和方法; 2.对于非等差等比数列的求和要能转化为等差等比数列,或通过拆并项分组等方法求和. 二．建构知识网 1．等差、等比数列的求和 公比含字母时一定要讨论 无穷递缩等比数列时， 2．错位相减法求和：如： 3．分组求和：把数列的每一项分成假设干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 4．合并求和：如：求的和。 5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾假设干项。 常见拆项： , , 6．公式法求和 7．倒序相加法求和:如等差数列求和公式的推导, 如an= 8．其它求和法：归纳猜测法，奇偶法等 三、双基题目练练手 1.一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于 〔　 〕 A5　　　　　 B6 C7　　　　 D8 2.设S和T分别为两个等差数列的前n项和，假设对任意n∈N，都有，那么第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是 ( ) A.4∶3 B.3∶2 C.7∶4 D.78∶71 3.数列{an}的前n项和Sn＝5n－3n2(n∈Nx)，那么有 ( ) A．Sn>na1>nan B．Sn<nan<na1 C．nan>Sn>na1 D．nan<Sn<na1 4.等差数列{an}中，a1+a2+…+a50＝200，a51+a52+…+a100＝2700，那么a1等于( ) A．－1221 B．－21．5 C．－20．5 D．－20 5．〔2023湖北〕设等比数列{}的公比为q，前n项和为，假设，，成等差数列，那么q的值为 6.设在等比数列中，那么=____,=____ 简答:1-4.CADC; 1.依题意,数列递减，公差d＜0,∵S3=S11 ∴a4+a5+…+a10+a11=0 即　a4+a11=…=a7+a8=0，故当n=7时，a7＞0，a8＜0; 2. 5.－2; Sn+1,Sn,Sn+2等差那么q≠1,代求和公式得q2+q-2=0,q=－2; 6. 由由得或；由此得或 四、经典例题做一做 【例1】求和：①求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和 ② ③数列，求前n项和。 ④数列。 解：① ② 〔1〕当时， 〔2〕当 ③ 当 当 ④an=-2n+(-1)n,分两个数列求和得 法2:(对n分奇偶讨论求和) ，假设 假设 提炼方法:1.通过分组，通过拆并组合，凑出等差等比数列，用公式求和; 2.乘公比,错位相减法求和,用于等差、等比数列对应项的积构成的数列求和. 3.运用等比数列求和公式时,要注意公比讨论。 【例2】求和 解: 提炼方法:凑分母化简，心中的目标是凑出“等差数列连续两项积的倒数〞再裂项相消。 练习:求 答案: 【例3】求证： 思路分析：由可用倒序相加法求和。 证：令 那么 等式成立 提炼方法:与推导等差数列求和公式一样，倒序相加，凑出特殊数列求和。此外还可用归纳猜测法，奇偶法等方法求和。 【例4】〔2023全国1〕设等比数列的公比为，前n项和 〔Ⅰ〕求的取值范围； 〔Ⅱ〕设，记的前n项和为，试比拟与的大小 解:〔Ⅰ〕当q>0时显然成立;当q<0时对任意n成立,必有q>-1,故q的取值范围是 〔Ⅱ〕∵ 得 【研讨.欣赏】(2023湖北)二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为。数列的前n项和为，点均在函数的图像上。〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式； 〔Ⅱ〕设，是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。 本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等根底和根本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：〔I〕依题意可设那么 由 得 所以 又由点 均在函数的图像上得 当 时 当 时 所以 〔II〕由〔I〕得 故，= 因此使得成立的m必须且必须满足即 故满足最小的正整数m为10 五．提炼总结以为师 1．掌握各种求和根本方法； 2．利用等比数列求和公式时注意分讨论。 3. 解题时注意转化和有目的的配凑; 同步练习 3．5数列求和 【选择题】 1.数列中，假设前n项的和为10，那么项数n为 〔 〕 A．11 B．99 C．120 D．121 2.数列前n项的和为 〔 〕 A． B． C． D． 3．〔2023全国〕等差数列中，，那么此数列前20项和等于 〔 〕 A．160 B．180 C．200 D．220 4．〔2023湖北〕数列{}的前n项和, (n=1,2,…)其中a、b是非零常数，那么存在数列{}、{}使得 〔 〕 A．为等差数列，{}为等比数列 B．和{}都为等差数列 C．为等差数列，{}都为等比数列 D．和{}都为等比数列 【填空题】 5.求和= 6.在等比数列的前n项和中，最小，且，前n项和，那么n=_____,公比q=____ 简答.提示：1-4.CBBC; 4.an=sn-sn-1=(a+b-bn) 5. ;6. 解:因为为等比数列，所以 依题意知 【解答题】 7. 设数列{an}的首项a1=a≠，且, 记，n＝＝l，2，3，…·． 〔I〕求a2，a3； 〔II〕判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； 〔III〕求． 解：〔I〕a2＝a1+=a+，a3=a2=a+； 〔II〕∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+, 所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－), 猜测：{bn}是公比为的等比数列· 证明如下： 因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈Nx) 所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列· 〔III〕. 8.数列的前n项和为S,且n=1,2,3….求 〔I〕的值及数列的通项公式； 〔II〕的值. 解：〔I〕由a1=1，，n=1，2，3，……，得 ，，， 由〔n≥2〕，得〔n≥2〕， 又a2=，所以an=(n≥2), ∴ 数列{an}的通项公式为； 〔II〕由〔I〕可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴ = 9. 数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2－2an+1+an=0〔n∈Nx〕. 〔1〕求数列{an}的通项公式. 〔2〕设bn=〔n∈Nx〕，Sn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有Sn＞总成立？假设存在，求出m；假设不存在，请说明理由. 解：〔1〕∵an+2－2an+1+an=0， ∴an+2－an+1=an+1－an〔n∈Nx〕. ∴{an}是等差数列.设公差为d， 又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2， ∴d=－2.∴an=－2n+10. 〔2〕bn== =〔－〕， ∴Sn=b1+b2+…+bn=［〔1－〕+〔－〕+…+〔－〕］ =〔1－〕=. 假设存在整数m满足Sn＞总成立. 又Sn+1－Sn=－ =＞0， ∴数列{Sn}是单调递增的. ∴S1=为Sn的最小值，故＜， 即m＜8.又m∈Nx， ∴适合条件的m的最大值为7. 10.〔2023天津〕 〔Ⅰ〕当时，求数列的前n项和 〔Ⅱ〕求。 解：〔Ⅰ〕当时，．这时数列的前项和 ．　　　① ①式两边同乘以，得　　 ②　 ①式减去②式，得 假设， ， 假设， 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，当时，， 那么． 当时， 此时，． 假设，． 假设，． 【探索题】　正项数列满足 〔〕，且 求证〔1〕〔2〕 证明:〔1〕将条件变形，得 于是，有 ………… 将这n-1个不等式叠加，得 故 〔2〕注意到，于是由〔1〕得 ， 从而，有