吉林省长春市养正高级中学2023学年高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中，项的系数为（ ） A．－23 B．17 C．20 D．63 2．若，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是 A． B． C． D． 4．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（　　） A． B．2 C． D． 5．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率 A． B． C． D． 9．等比数列若则（ ） A．±6 B．6 C．-6 D． 10．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（ ） A．12 B． C． D． 11．已知函数，若所有点，所构成的平面区域面积为，则（ ） A． B． C．1 D． 12．如图，矩形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BE折起至，记二面角的平面角为，直线与平面BCDE所成的角为，与BC所成的角为，有如下两个命题：①对满足题意的任意的的位置，；②对满足题意的任意的的位置，，则( ) A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____ 14．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______. 15．函数的定义域为______. 16．在中，已知，，是边的垂直平分线上的一点，则__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 女 合计 已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为. （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由； （2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率. 下面的临界值表供参考： （参考公式，其中） 18．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润. （1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数； （2）将表示为的函数； （3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率. 19．（12分）已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值. 20．（12分）已知函数，，.函数的导函数在上存在零点. 求实数的取值范围； 若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值； 若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值. 21．（12分）已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：为定值. 22．（10分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表： 序号 选科情况 序号 选科情况 序号 选科情况 序号 选科情况 1 134 11 236 21 156 31 235 2 235 12 234 22 235 32 236 3 235 13 145 23 245 33 235 4 145 14 135 24 235 34 135 5 156 15 236 25 256 35 156 6 245 16 236 26 156 36 236 7 256 17 156 27 134 37 156 8 235 18 236 28 235 38 134 9 235 19 145 29 246 39 235 10 236 20 235 30 156 40 245 （1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？ （2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 （3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数. 【题目详解】 的展开式的通项公式为.则 ①出，则出，该项为：； ②出，则出，该项为：； ③出，则出，该项为：； 综上所述：合并后的项的系数为17. 故选：B 【答案点睛】 本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 2、C 【答案解析】 利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系. 【题目详解】 对数函数为上的增函数，则，即； 指数函数为上的增函数，则； 指数函数为上的减函数，则. 综上所述，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 3、D 【答案解析】 先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果. 【题目详解】 因为是偶函数，所以关于直线对称； 因此，由得； 又在上单调递减，则在上单调递增； 所以，当即时，由得，所以， 解得； 当即时，由得，所以， 解得； 因此，的解集是. 【答案点睛】 本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型. 4、C 【答案解析】 把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【题目详解】 ∵， ∴， ∵为纯虚数， ∴，解得． 故选C． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题． 5、A 【答案解析】 试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β， 则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立， ∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件． 故选A． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定． 6、B 【答案解析】 先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围. 【题目详解】 解： 令，解得对称轴，， 又函数在区间恰有个极值点，只需 解得． 故选：． 【答案点睛】 本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题. (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 7、D 【答案解析】 连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案. 【题目详解】 连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，则，， 在等腰中，取的中点为，连接， 则，， 所以， 即：， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力. 8、B 【答案解析】 设，则，， 因为，所以．若，则，所以， 所以，不符合题意，所以，则， 所以，所以，，设，则， 在中，易得，所以，解得（负值舍去）， 所以椭圆的离心率．故选B． 9、B 【答案解析】 根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【题目详解】 由等比数列中等比中项性质可知，， 所以， 而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 10、C 【答案解析】 过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可. 【题目详解】 在和中，，所以，则， 过作于，连接，显然，则，且， 又因为，所以平面， 所以， 当最大时，取得最大值，