吉林省通榆一中2023学年高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（） A． B． C． D． 2．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A．4 B．8 C．16 D．2 5．已知，，，若，则（ ） A． B． C． D． 6．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（ ） A．36 B．72 C． D． 7．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 8．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．0 9．若函数在处取得极值2，则（ ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 10．已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 11．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图： 根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________． 14．若，则的最小值是______. 15．若，则__________. 16．已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值． 18．（12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，平面. （1）证明：平面平面； （2）若，，三棱锥的体积为，求菱形的边长. 19．（12分）已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形，且面面，分别为线段的中点.为线段上的点，且. （1）证明：为线段的中点； （2）求二面角的余弦值. 20．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积． 21．（12分）在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． 求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线； 设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值． 22．（10分）已知函数的图象在处的切线方程是. （1）求的值； （2）若函数，讨论的单调性与极值； （3）证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系. 【题目详解】 为偶函数 图象关于轴对称 图象关于对称 时，单调递减 时，单调递增 又且 ，即 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果. 2、C 【答案解析】 首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案． 【题目详解】 当n=k时，等式左端=1+1+…+k1， 当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1． 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 3、D 【答案解析】 由变形可得,可知函数在为增函数, 由恒成立,求解参数即可求得取值范围. 【题目详解】 ,即函数在时是单调增函数. 则恒成立. . 令,则 时,单调递减,时单调递增. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难. 4、A 【答案解析】 利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【题目详解】 . 故选:. 【答案点睛】 本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易. 5、B 【答案解析】 由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算． 【题目详解】 由，得，则， ，，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键． 6、A 【答案解析】 根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到. 【题目详解】 等比数列满足，，所以，又，所以，由等差数列的性质可得. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 7、C 【答案解析】 对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的. 【题目详解】 由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的； 对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数， 因为，则 又由，所以，即，所以②不正确； 对于③中，设函数，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，即，所以是正确的. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 8、C 【答案解析】 由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数. 【题目详解】 由三视图还原原几何体如图， 其中，，为直角三角形. ∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3. 故选：C. 【答案点睛】 本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题. 9、A 【答案解析】 对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案. 【题目详解】 因为,所以,则,解得,则. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 10、B 【答案解析】 先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程. 【题目详解】 设直线与圆相切于点， 因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以， 又因为圆与直线的切点为，所以， 又，所以， 因此， 因此有， 所以，因此渐近线的方程为. 故选B 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 11、B 【答案解析】 画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案. 【题目详解】 ，画出函数图像，如图所示： 根据图像知：，，故，且. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 12、C 【答案解析】 由题可得，解得， 则，， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程． 解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则. 直线IF1与IF2的斜率之积：， 而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为 因此有. 再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴， 离心率e满足的椭圆， 其标准方程为. 解法二：令，则．三角形PF1F2的面积： ， 其中r为内切圆的半径，解得. 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得： 从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为： . 本题中：，代入上式可得轨迹方程为：. 14、8 【答案解析】 根据，利用基本不等式可求得函数最值. 【题目详解】 ，，当且仅当且，即时，等号成立.时，取得最小值. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查基本不等式，构造基本不等式的形式是解题关键. 15、 【答案解析】 由已知利用两角差的正弦函数公式可得，两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解． 【题目详解】 ，得， 在等式两边平方得，解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 16、 【答案解析】 由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案. 【题目详解】 因为为偶函数，在上有唯一零点， 所以，∴，∴， ∴为首项为2，公比为2的等比数列.所以，. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (Ⅰ) .(Ⅱ) . 【答案解析】 (Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(Ⅱ)，由数列的错位相减法求和可得，解方程可得所求值． 【题目详解】 (Ⅰ)等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是 即有， 解得： (Ⅱ)由(Ⅰ)知： 则 相减可得： 化简可得：