吉林省名校2023学年高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（ ） A．2 B．2 C．4 D．6 4．数列满足：，则数列前项的和为 A． B． C． D． 5．已知函数，若，则等于（ ） A．-3 B．-1 C．3 D．0 6．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 7．已知集合，，，则集合( ) A． B． C． D． 8．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 10．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A． B． C． D． 11．已知复数，为的共轭复数，则（ ） A． B． C． D． 12．已知复数，则的虚部为（ ） A．－1 B． C．1 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数的值域为_____. 14．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____ 15．在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q.若为直角三角形，则该双曲线的离心率是______. 16．圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数． （1）若不等式有解，求实数的取值范围； （2）函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：． 18．（12分）设函数 . (I)求的最小正周期； (II)若且，求的值. 19．（12分）已知中，角所对边的长分别为，且 （1）求角的大小； （2）求的值. 20．（12分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表： 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数． （Ⅰ）求X的分布列与数学期望； （Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值； （Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论） 21．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围. 22．（10分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点. （1）证明：平面； （2）求二面角平面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可. 【题目详解】 ，，或（舍）. ，，. 当，时； 当，时； 当，时，，所以最小值为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题. 2、C 【答案解析】 利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果. 【题目详解】 ， 所以，即. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易. 3、C 【答案解析】 根据列方程，由此求得的值，进而求得. 【题目详解】 由于，所以，即 ， 解得. 所以 所以 . 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题. 4、A 【答案解析】 分析：通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知，进而可知，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵，∴， 又∵=5， ∴，即， ∴， ∴数列前项的和为， 故选A． 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 5、D 【答案解析】 分析：因为题设中给出了的值，要求的值，故应考虑两者之间满足的关系. 详解：由题设有， 故有，所以， 从而，故选D. 点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系. 6、A 【答案解析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【题目详解】 ∵x∈（0，1）， ∴a＝lnx＜0， b＝（）lnx＞（）0＝1， 0＜c＝elnx＜e0＝1， ∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7、D 【答案解析】 根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【题目详解】 ，故可得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的混合运算，属基础题. 8、D 【答案解析】 根据面面平行的判定及性质求解即可． 【题目详解】 解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α， 由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交； 反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面， ∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α， 则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题． 9、D 【答案解析】 根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解. 【题目详解】 因为复数z满足， 所以， 所以z的虚部为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10、D 【答案解析】 根据等差数列公式直接计算得到答案. 【题目详解】 依题意，，故，故，故，故选：D． 【答案点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力. 11、C 【答案解析】 求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【题目详解】 . 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 12、A 【答案解析】 分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【题目详解】 ，故的虚部为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果. 【题目详解】 函数的定义域为 所以函数的值域为 故答案为： 【答案点睛】 本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。 14、 【答案解析】 设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率. 【题目详解】 设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点， 故，所以此点取自内的概率是． 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题. 15、2 【答案解析】 根据是等腰直角三角形，且为中点可得，再由双曲线的性质可得，解出即得. 【题目详解】 由题，设点，由，解得，即线段，为直角三角形，，且，又为双曲线右焦点，过点，且轴，，可得，，整理得：，即，又，. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质，是常考题型. 16、 【答案解析】 由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程． 【题目详解】 设圆的半径为，由题意可得，所以， 由题意设圆心，由题意可得， 由直线与圆相切可得，所以， 而，，所以，即，解得， 所以的最大值为2，当且仅当时取等号，可得， 所以圆心坐标为：，半径为， 所以圆的标准方程为：. 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）见解析 【答案解析】 (1)分离得到，求的最小值即可求得的取值范围；（2）先求出，得到，利用乘变化即可证明不等式. 【题目详解】 解：（1）设， ∴在上单调递减，在上单调递增． 故． ∵有解，∴． 即的取值范围为． （2），当且仅当时等号成立． ∴，即． ∵ ． 当且仅当，，时等号成立． ∴，即成立． 【答案点睛】 此题考查不等式的证明，注意定值乘变化的灵活应用，属于较易题目. 18、 (I)；(II) 【答案解析】 (I)化简得到，得到周期. (II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案. 【题目详解】 (I) ，故. (II) ，故，， ，故，， 故，故， . 【答案点睛】 本题考查了三角函数的周期，